Да-нет в среде Mathcad
или
Оригами Буля

В среде Mathcad есть функции (реализованные в виде префиксного и инфиксного операторов – см. правую часть рис. 1), которые возвращают только два значения: 1 или 0: Да–Нет, True (Истина) –False (Ложь). Эти функции собраны на панели инструментов Boolean(английская версия Mathcad 15 –см. левую частьрис. 1) иСравнение (русская версия MathcadPrime – см. рис. 2).

Рис.1. Панель булевых операторов в среде Mathcad 15 (слева)

Рис.2. Панель булевых операторов в среде Mathcad Prime

Примечание.

Слово «булевый» происходит от имени Джорджа Буля — английского математика и логика, профессора математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк). Один из предтеч математической логики.

Иногда булевы функции называют двоичными или логическими. Аргументами этих функций (операндами операторов) в среде Mathcad являются вещественные числа, но при этом число, отличное от нуля, воспринимается как истина, а ноль как ложь.

В некоторых языках программирования (Pascal, например) начать работу с булевыми и другими типами переменных можно только после того, как они будут перечислены с указанием типа переменной. Это сделано для экономии памяти компьютера: под хранение булевой переменной выделяется намного меньше места, чем под хранение целочисленной, а тем более вещественной. Сейчас память компьютера, как правило, не является лимитирующим фактором при решении задач и от такого предварительного объявления типов переменных отказались. Так, по крайней мере, делается в среде Mathcad.

Поговорим об этих специфических функциях, отталкиваясь от проблем, возникающих при работе в среде Mathcad или в иных математических программах и языках программирования, да и вообще, при использовании цифровой вычислительной техники, в основе которой лежит двоичный «атом» – элементарный элемент памяти, находящийся в одном из двух состояниях (заряжено–разряжено, намагничено–размагничено и т.д.). Из «атомов» (биты) составляются «молекулы» (байты), которые, в свою очередь, формируют новые «соединения» – переменные, массивы переменных и т.д. – все то, чем оперируют программисты. Арифметические и прочие действия над числами в переменных и массивах переменных – это по своей сути не что иное, как разнообразные булевые (побитовые) операции.

1. Азы булевой математики

1.1. Булевы функции одного аргумента

Булевых функций одного аргумента четыре: см. таблицу 1, но на практике работают только с одной – с f₁, которую называют отрицанием (инверсией). Остальные три функции возвращают либо свой аргумент (функция f₂), либо константы 1 (f₃) и 0 (f₄).

Таблица 1. Булевы функции одного аргумента

В первой строке графы Обозначение таблицы 1 (и таблицы 2 ниже) показаны операторы Mathcad, которыми булевы функции реализуется. Символ Ø (префиксный оператор отрицания, или инверсии) расположен на панелях, показанных на рис. 1 и 2.

Примечание.

Определение префиксный означает, что символ оператора расположен до операнда. В среде Mathcad есть и постфиксные встроенные операторы – оператор факториала, например, (5!), где символ оператора (!) стоит после операнда (5). У инфиксного оператора два аргумента, а его символ стоит между ними. Есть в среде Mathcadтакже и древовидный оператор – см. рис. 8 и 11 ниже.

1.2. Булевы функции двух аргументов

Булевых функций двух аргументов шестнадцать: см. таблицу 2.

Таблица 2. Булевы функции двух аргументов

Таблица 2 условно делится на две половины – на «именную» (f₁ – f₈) и безымянную (f₉ – f₁₆). Вот имена первых восьми функций. Вернее, семи («великолепная семерка»): две функции (f₅ и f₆) называются одинаково – импликация или логическое следование.

· f₁ – конъюнкция (логическое умножение);

· f₂ – дизъюнкция (логическое сложение);

· f₃ – равнозначность (эквивалентность, тождественность);

· f₄ – неравнозначность (неэквивалентность, разделительная дизъюнкция, сумма по модулю 2) ;

· f₅ и f₆ – импликация: f₅ – импликация (логическое следование) от a к b, f₆ – импликация (логическое следование) от b к a;

· f₇ – функция (стрелка) Пирса (функция Вебба, функция Даггера, антидизъюнкция);

· f₈ – функция (штрих) Шеффера (антиконъюнкция);

Остальные восемь функций таблицы 2 (f₉ – f₁₆, как и три последние функции таблицы 1) не имеют ни имен, ни практического применения. Это либо константы (f₁₅ и f₁₆), либо функции только одного аргумента (f₁₁ – f₁₄). Имя, да и то условно, можно дать только функциям f₉ и f₁₀: инверсия (отрицание) импликации. Но эти две функции, как правило, применяются только к вещественным аргументам: пример π >e = 1 (да, численное значение отношения длины окружности к ее диаметру больше, чем численное значение основания натурального логарифма).

Примечание.

В среде MathcadPrime появился еще один оператор, возвращающий нуль или единицу: Î – оператор принадлежности: сравните рис. 1 (10 операторов) и рис. 2 (11 операторов). Этот инфиксный оператор определяет, принадлежит ли его первый операнд к одному из возможных числовых множеств (второй операнд): С – комплексные числа, Q – рациональные числа (этот оператор относится к символьной математике), R – вещественные числа и Z – целые числа. На рисунке 3 показаны примеры вызова этого оператора.

Рис. 3. Проверка принадлежности чисел определенным множествам

Из рисунка 3 видно, что π не является рациональным числом, а является иррациональным. Полезно также при программировании проверять, хранит ли та или иная переменная целое или нецелое число. А вот проверка числа на то, является ли оно комплексным, не имеет особой практической ценности, т.к. все числа в среде Mathcad относятся к множеству комплексных чисел, хотя многие инженеры считают, что если у числа нет мнимой части, то это уже не комплексное число.

На рисунке 4 показаны операторы вызова в среде Mathcad 15 некоторых булевых функций двух аргументов из таблицы 2. Эти операторы реализованы в виде инфиксных операторов – операторов, символ которого, как уже отмечено, находится между двух операндов. Стрелка над операндами-векторами на рис. 4 – это оператор векторизации, т.е. поэлементного выполнения действия над векторами.

Рис. 4. Операторы вызова булевых функций в Mathcad 15

У некоторых операторов, показанных на рис. 4, по идее могут быть только булевы операнды (0 или 1), а у других – и вещественные: 0.1, 0.9, 2.5 и т.д. На рисунке 5 показана работа операторов Исключающее Или (Xor) и Не равно с вещественными операндами: не с 0 и 1, а с 0.1 и 0.9. Эти операторы при булевых операндах (рис. 4) дали одинаковые ответы, а при вещественных операндах (рис. 5) разные.

Рис. 5. Оператор "Исключающее или" и "Не равно" с вещественными аргументами

Ответ первого оператора на рис. 5 (одни нули) объясняется тем, что числа, отличные от нуля, булевыми функциями пакета Mathcad воспринимаются как единицы (Истина). Это связано с тем, что в ранних версиях Mathcad не было операторов And и Or, и данные булевы операции реализовывались через арифметические операторы умножения и сложения – см. рис. 6. При сложении же двух единиц (оператор Or) получается двойка (истина) – число, отличное от нуля.

Рис. 6. Логическое умножение и логическое сложение в Mathcad ранних версий

Булевы функции And и Or часто иллюстрируют электрической цепью: последовательное соединение выключателей (устройств, находящихся в двух возможных положениях 0 и 1) – это конъюнкция (логическое умножение), а параллельное – дизъюнкция (логическое сложение). На рис. 7 показан также менее тривиальный пример – электрический аналог эквиваленции (Eqv): схема соединения двух выключателей, так чтобы свет независимо зажигался и тушился из двух разных мест. Такие выключатели будут полезны в длинном коридоре или на лестнице многоэтажного дома.

Рис. 7. Электрические аналоги трех булевых функцийAnd, Orи Eqv

В таблицах 1 и 2 сделана попытка собрать все имена функций и символы операторов, использующихся для реализации булевой алгебры. Список, конечно, неполный. Можно расширить его примерами из других языков программирования (Pascal, Fortran и др.) и математических программ (Maple, MatLab, Mathematica и др.).

Можно отметить избыточность функции, собранных в таблицах 1 и 2. В конкретных языках программирования есть некий ограниченный набор встроенных булевых функций и операторов. Вот перечень таких функций и операторов, встроенных в популярные программные среды:

· язык программирования BASIC: Not, And, Or, Xor и Imp

· язык программирования C: !,& (логическое умножение), && (побитовая конъюнкция), !=, ║и = =

· математическая программа Mathcad: ¬, ^, ˅ и Å (см. рис. 1 и 2)

Недостающие двоичные функции (операторы) программист может ввести в программу сам через механизм пользовательских функций, и мы это покажем ниже.

Но разделение двоичных функций и операторов на основные (базисные) и вспомогательные появилось задолго до компьютеров и узаконилось в виде двоичных алгебр (в скобках отмечен их базис):

· алгебра логики (¬, &, ˅, → и ↔);

· булева алгебра (¬, & и ˅);

· алгебра Жегалкина (&, ˅ и Å);

· алгебра Пирса (↓);

· алгебра Шеффера (│) .

Две последние двоичные алгебры примечательны тем, что в их базисе всего лишь одна двоичная функция↓ или |, опираясь на которую можно построить все остальные.

Рис. 8. Создание в среде Mathcad булевой функции Пирса с опорой на отрицание и логическое сложение

Рис. 9. Построение булевых функций с опорой на функцию Пирса

На рисунке 9 показан документ Mathcad 15, где с опорой на функцию Пирса (↓ - см. рис 8) построены другие булевы функции: одна функция одного аргумента (отрицание, инверсия – Not) и пять функций двух аргументов: And, Or, Imp, штрих Шеффера (|) и Eqv. Последние три функции (Imp, штрих Шеффера и Eqv) определены с использованием ранее определенных функций. Это сделано для большей компактности рисунка, но от механизма вложения пользовательских функций (Imp(a, b) := Or(Not(a), b), например, можно отказаться и оперировать «для чистоты эксперимента» только функцией (штрихом) Пирса.

На алгебру Пирса и алгебру Шеффера возлагали большие надежды в смысле построения цифрового компьютера из однотипных элементов. Потом от этой идеи отказались по ряду причин, главная из которых в том, что любой компьютер и так состоит только из однотипных элементов – из транзисторов, объединенных в интегральные микросхемы (чипы).

Можно отметить недостаточность набора математических инструментов, отображенных в таблицах 1 и 2. Возьмем, например, наверное, самую популярную функцию булевой алгебры – конъюнкцию (следствие ее популярности и в том, что у нее больше всего имен и символов для обозначения – см. столбец f₁ в таблице 2). Столбец истинности конъюнкции в таблице истинности (а так называют таблицы 1 и 2.) по идее должен быть такой, как показано в таблице 3.

Таблица 3. Уточненная конъюнкция

Прочерк рядом с нулем в первом столбце таблицы 3 означает то, что если первый (a) аргумент равен нулю, то незачем проверять, чему равен второй аргумент (b), и наоборот. Такое предусматривают, создавая некоторые («неленивые») языки программирования – язык C, например. При программировании в среде языка BASIC условный переход по конъюнкции можно записать так:

If a And b Then… (1-й способ)

но лучше так:

If a Then If b Then… или If b Then If a Then… (2-й способ)

Второй способ записи позволяет не только ускорять расчеты, но и избегать некоторых ошибок – логическое выражение b может иметь смысл только в том случае, если на альтернативный вопрос a дан положительный ответ. Вот типичный пример такой «программистской» ситуации:

If I> 0 Then If V(i) >V(i-1) Then…

Можно сказать, что в языке BASIC есть две конъюнкции: And и Then If.

В таблицах 1 и 2 мы, повторяем, собрали булевы функции одного (таблица 1) и двух (таблица 2) аргументов. Но, возвращаясь к конъюнкции, можно сказать эта функция имеет не два, а… полтора аргумента – см. таблицу 3.

Такую же нецелочисленность количества аргументов можно отметить и по другим булевым функциям:

Таблица 4. Булевы функции полутора, одного и нуля аргументов

Можно отметить, что в таблицу 2 попали операторы, изначально предназначенные для работы не с двоичными, а с вещественными операндами: «>», «<», «≥», «≤», «=» и «≠». Но если принять во внимание тот факт, что нуль и единица входят во множество вещественных чисел, то включение этих операторов в таблицу 2 вполне закономерно. В этом ряду («>», «<», «≥», «≤», «=» и «≠») также можно отметить и избыточность и недостаточность. С избыточностью все более-менее ясно («больше», например, – это инверсия от оператора «меньше или равно» и т.д.). Недостаточность же можно наблюдать в том, например, что при работе с вещественными переменными вместо оператора «равно» более уместно использовать оператор «примерно равно», которого нет в списках встроенных. Можно также вспомнить о существовании понятий «намного больше» или «намного меньше». Эти операторы соотношения также возвращают двоичные значения, но имеют фактически уже не два, а три аргумента (операнда): сравниваемую пару вещественных чисел и некое контекстное наше представление о том, что такое «примерно» или «намного».

На рис. 10 показано создание в среде Mathcad 15 булевого оператора Примерно равно.

Рис. 10. Создание в среде Mathcad 15 булевого оператора Примерно равно

Если говорить не о классической булевой алгебре, а о реальной практике программирования, то следует признать, что переменные, фигурирующие в таблицах 1 и 2, могут принимать не два (0 или 1), а три значения: 0, 1 и неопределенно. Эту особенность мы уже зафиксировали в таблицах 3 и 4, где вместо конкретных значений аргументов (0 или 1) стоит прочерк. В языках программирования есть инструменты, обработки таких «прочерков» в таблицах истинности. Если аргумент булевой функции не определен, то расчет может, либо прерываться сообщением об ошибке, либо идти по третьему пути.

Аргументы булевых функций могут принимать не два и не три, а… бесконечное множество вещественных значений. Это множество делится на две предельно неравные части: на нуль и на ненуль (¬0, если говорить языком таблицы 1 – на числа, отличные от нуля, которые, повторяем, булевыми функциями пакета Mathcadвоспринимаются как единицы). Бывает и так, что булева функция возвращает не только нули и единицы. Вот, например, как работает функция Or в одной из реализаций языка BASIC (язык BASIC, которым комплектовалась популярная в свое время ПЭВМ «Искра-226» - http://www.ic.kz/~ksxi/musei/int6.htm калька машины «Wang-2000»): см. таблицу 5.

Таблица 5. «Дизъюнктивная конъюнкция»

Можно допустить и такую работу расширенного оператора Or: см. таблицу 6.

Таблица 6. Расширенная конъюнкция (дизъюнкция)

Одно дело, когда первый аргумент (операнд) не равно нулю, а другое – когда второй, и третье – когда оба одновременно.

Подытоживая наш разбор таблиц 1 и 2, можно сказать, что описываемые булевы функции в реальных компьютерных реализациях могут иметь недвоичные аргументы и возвращать опять же недвоичные результаты. Но особого недвоичного смысла в этом нет. Просто, повторяем, по технологическим причинам вещественные переменные в описываемых реализациях языков программирования (BASIC, Mathcad) «по совместительству» исполняют роль двоичных. При этом булевы функции воспринимают свои вещественные аргументы «двоично»: нуль есть нуль («Нет», «False»), а все остальное единица («Да», «True»).

Эта, можно сказать, «категоричность» описываемых встроенных функций вступает в противоречие с положениями теории нечетких множеств (fuzzy sets) и теории нечеткой логики (fuzzy logic [3, 4]). Необходимо, например, статистически обрабатывать на компьютере не только «черно-белые» (двоичные) ответы анкетируемых типа «Да (1)» – «Нет (0)», но и «цветные» (вещественные) ответы: «Да (1)», «Скорее да, чем нет (0.75, например)», «Ни да, ни нет (0.5)», «Скорее нет, чем да (0.25, например)» и «Нет (0)». Если говорить не о статистике, а об электротехнике и вернуться к электрическим цепям, которыми часто иллюстрируют работу булевых функций (см. рис. 7), то можно упомянуть тот факт, что сейчас в быту получают распространение выключатели, плавно меняющие накал ламп от 100% до нуля. Еще раньше такие устройства стали применять в театрах и кинозалах. Медики уверяют, что плавный переход от света к темноте через полумрак не портит зрение. (В кинотеатрах свет тушат плавно, конечно, не по медицинским соображениям, а по другим причинам – если резко погасить свет, то может возникнуть паника.)

Можно привести множество других примеров, толкающих к тому, что аргументы функций, перечисленных в таблицах 1 и 2, могут и должны быть не только двоичными, но и вещественными числами от нуля до единицы. И функции, перечисленные в таблицах 1 и 2, должны возвращать вещественные значения, плавно меняющиеся от нуля до единицы. Вот как, например, можно задать «плавную» функцию отрицания: Not(a) := 1-a (см. рис. 11).

Рис. 11. Нечеткое отрицание

«Плавная» конъюнкции (And) и «плавная» дизъюнкция (Or) получаются сами собой, если вспомнить о том, что одно из обозначений конъюнкции – это min (минимум – см. столбец f₁ в таблице 2), а одно из обозначений дизъюнкции – это max (максимум – см. столбец f₂ в таблице 2):

And(a, b) := min(a, b) Or(a, b) := min(a, b)

Примечание.

Некоторым пользователям Mathcad трудно запомнить, что ^ – это логическое умножение, а ˅ – логическое сложение. Поэтому не будет лишним ввести в расчет пользовательские функции And и Or даже в том случае, если мы работаем только с четкой логикой.

На рисунках 12-15 показано графическое отображение нечетких булевых функций And, Or и Eqv. Последняя функция представлена в двух вариантах Eqv (рис. 14) и Eqv1 (рис. 15).

Рис. 12. График нечеткого And

Рис. 13. График нечеткого Or

Рис. 14. График нечеткого Eqv

Рис. 15. График нечеткогоEqv (второй вариант)

На рисунке 16 показано создание нечетких булевых функции и их отображение на графиках линий одного уровня (на контурных графиках).

Рис. 16. Нечеткие булевы функции

На рисунках 12-15, а также на рисунке 18 ниже показаны, если так можно выразиться, «булевы кубики» или «булевы оригами».

1.3. Функции многих аргументов

Булевых функций трех аргументов 256, а четырех…Читатель, определи это сам!

Функции And и Or, если их отожествлять с функциями min и max (см. выше), могут иметь переменное число аргументов – с четкими (0 или 1) или нечеткими (от 0 до 1) значениями. Этим свойством обладают и некоторые другие булевы функции. Какие? Читатель, определи опять же это сам!

На рисунках 17 и 18 показано формирование в среде Mathcad нечеткой функции трех аргументов, возвращающей… решение жюри присяжных, которые могут выдавать уже не «черно-белые» ответы (виновен – невиновен), а… «цветные»: виновен на 30%, невиновен на 70% и т.д. В электрическом аналоге машинки для голосования выключатели (0 или 1) заменены на реостаты (от 0 до 1).

Печальное примечание.

Говорят, что в США электрический стул приводят в смертельное действие несколько человек. При этом настоящий рубильник приводится в действие только одним человеком. Остальные участники этой экзекуции включают фальшивые рубильники. И никто не знает, где фальшивый, а где настоящий рубильник. Такая несколько ханжеская процедура дает возможность каждому такому палачу думать, что не он, а кто-то другой был причиной смерти человека. Если же все настоящие рубильники заменить на реостаты (см. ниже рис. 17), плавно меняющими напряжение, то смерть можно заменить на нелетальное наказание: приговоренный преступник получит удар током (сильный или слабый), но останется жив.

Рис. 17. Машина для голосования: параллельное (Or) соединение последовательно (And) соединенных выключателей (реостатов)

Рис. 18. Функция нечеткого голосование трех членов жюри

Функция Verdict, показанная на рис. 18, при двоичных аргументах возвращает двоичный ответ, а при вещественных – вещественный, естественно. Показан соответствующий «булев кубик» (оригами) при a = 0.7 – мы видим гибрид конъюнкции с дизъюнкцией: нечеткое (от 0 до 1) мнение одного члена жюри плавно переводит вердикт из области Or (см. рис. 13) в область And (см. рис. 12).

Задание для читателей: создайте функцию, подобную той, какая показана на рис. 18, но не для трех, а для любого числа членов жюри присяжных, выносящих свой вердикт нечетко – вещественным числом от 0 до 1.

Литература:

1. Есипов А.С. Логические основы построения и работы компьютеров. // Компьютерные инструменты в образовании (http://www.aec.neva.ru:8081/journal). №. 2000

2. Очков В.Ф. Принцип неопределенности программирования. // КомпьютерПресс. 7’1996 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/IZBYT.htm)

3. Очков В.Ф. Mathcad и нечеткие множества. // КомпьютерПресс. № 1. 1998 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/F_sets.htm)

4. Очков В.Ф. Mathcad и нечеткая логика// КомпьютерПресс. № 8. 1998 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/F_log.htm)