Рубрики, одноименные названию этой главы книги, можно встретить практически в любом компьютерном издании – см., например, «Советы тем, кто программирует на Visual Basic» или «офисные» советы на CD-ROM и во вкладке «Решения Microsoft» журнала КомпьютерПресс.

Такие советы условно делятся на три группы:

1. Уточняются рекомендации, которые в документации и в help’e прописаны «петитом».

2. Разработчики программ задним числом (после завершения работы над документацией) сообщают о ее новых полезных свойствах и о способах нейтрализации недостатков.

3. Сообщается о результатах экспериментов над программами. Речь здесь может идти и о так называемых недокументированных свойствах программ, на которые разработчики убедительно просят не опираться, но...

Естествоиспытатель, желающий познать окружающий мир, не может прямо обратиться к Создателю (к Богу или к Природе – кто что предпочитает), а должен задавать вопросы самому объекту исследований. Для этого проводится эксперимент[1] – в объект вносятся возмущения и фиксируются реакции на них: «щелкни кобылу по носу, и она махнет хвостом».

У программы есть автор. Его имя, как правило, не найдешь на коробке с дистрибутивом и в документации, но он (автор) есть[2]. Следовательно, какие-либо эксперименты над программами излишни. С возникающими вопросами нужно обращаться либо к документации, либо к самому автору. Но! Если, к примеру, требуется уточнить, в градусах или в радианах должен быть аргумент синуса, мы не станем рыться в документации, а просто напишем x:=sin(90) и посмотрим, чему равна переменная x[3]. Подобные «эксперименты» пользователи ставят ежечасно, обращаясь к документации (если она, конечно, есть – см. ближайшую сноску) только в особо сложных случаях и зачастую не находя там ответа. Обращение же к «Создателю» проблематично. На hot-line сидят не авторы, а продавцы программ, что далеко не одно и то же[4]. На фирме, поддерживающей тот или иной программный продукт, вас, скорее всего, попросят перезвонить через пару дней, в течение которых там… проведут свой эксперимент над программой и попытаются найти ответ. Да и обращение к автору часто ничего не дает, так как он уже забыл о своем детище и всецело поглощен новым проектом. Даже если это не совсем так, автор может не помнить всех свойств и нюансов своего творения. Более того, создавая программу, программист сам непрерывно экспериментирует над ней, удивляясь ее новым неожиданным свойствам, далеко не все из которых узакониваются (фиксируются в документации).

Из-за этого пользователь нередко (и невольно) забывает, что Программа – это творение ума и рук человеческих (Вторая Природа), полагая на уровне подсознания, что это плод работы анонимного и недоступного «Создателя» (Первая Природа), с которым не свяжешься по hot-line. Здесь, по-видимому, и кроется объяснение (но ни в коем случае не оправдание) широкому распространению нелегального копирования программ. Имеются в виду не CD-ROM типа «Все для офиса» – воровство есть воровство. Речь идет не о торговцах «черными» дисками[5], а об относительно честных людях, ставящих на свой компьютер программу с того же «пиратского» диска, чтобы познать Природу и передать свои знания студентам.

Можно считать, что не человек открыл Законы Небесной Механики, а Создатель, бросив сверху яблоко и угодив им по ньютоновой голове, приоткрыл нам одну из тайн своего Божественного Замысла. Заслуга гения (Ньютона) здесь лишь в умении оказаться в нужное время[6] в нужном месте. Программы тоже как бы падают к нам сверху. Отсюда и живучесть идеи freeware, которой противятся в первую очередь продавцы, а не авторы программ. Как говаривали в былые времена, есть мнение, что Бог (Абсолютный Всемирный Разум) создал по своему образу и подобию не только человека, но и компьютер. Пишущий для него программы вдыхает душу в безжизненное нагромождение железок. Торговля телом (трансплантация органов, переливание крови, проституция, наконец) – реалия наших дней. Тема же покупки и продажи души встречается только в мифах и легендах, а также в их литературных трактовках (история Фауста, например). Приобретая программный продукт, мы опять же покупаем только «тело» – диски, документацию, информацию и скидки по новым версиям, а главное – послепродажный сервис.

Но вернемся к советам, еще раз отметив, что вследствие неизбежных экспериментов над программами деление советов на «правильные» и «неправильные» становиться весьма условным. Давая «вредные» советы (см. детскую книжку Г.Остера «Вредные советы»), авторы как бы говорят читателям: «”Думайте сами, решайте сами – иметь или не иметь” данные приемы в вашей собственной программе». Следующую группу советов можно объединить под другим «патентованным» названием: «Очумелые ручки» (вспомним телепередачу «Пока все дома»). Авторы надеются, что читатель, ознакомившись с тем или иным советом, скажет себе: «Мысль хоть и спорная, но интересная. А я сделаю лучше!».

Программы годятся не только для решения конкретных практических задач: их можно рассматривать и как некие занимательные и сложные головоломки, подходящие для высокоинтеллектуального досуга: «А что, интересно, получится, если я сделаю вот так?! На что этот программистский трюк сгодится, я не знаю, но прием забавный».

И еще об авторстве этой части книги. Советы работающим на компьютере в чем-то подобны анекдотам. Назвать автора того или иного удачного совета или анекдота не так-то просто: автор – народ. Читатель, ознакомившись с той или иной рекомендацией, может сказать: «А я знаю более удачную концовку анекдота, пардон, совета – эту проблему в среде Mathcad можно решить проще и эффективнее!» Другая реакция: «Интересный прием. Я обязательно познакомлю с ним своих коллег (перескажу анекдот) и включу его в свои Mathcad-документы!» Авторы (а это тоже народ) готовы и к третьей реакции – нейтральной или отрицательной. В любом случае они будут рады получить отзывы читателей, расширяющие и совершенствующие советы пользователям Mathcad.

Сначала предполагалось разбить советы на семь четких групп, охватывающих различные аспекты работы в среде Mathcad. Но оказалось, что подобную градацию провести не так просто. Один и тот же совет может касаться различных аспектов работы. Поэтому было решено после названия совета давать пиктограммы, подсказывающие читателю, о чем пойдет речь:

– ввод-вывод информации;

– работа с переменными, операторами и функциями, встроенными и пользовательскими;

– оформление Mathcad-документов;

– размерности величин;

– символьная математика;

– программирование;

– графика.

Кроме того, две пиктограммы отмечают следующие особенности советов:

– недокументированный прием, который решает одну проблему, но может создать новую;

– «Если нельзя, но очень хочется, то можно!» – эта пиктограмма отмечает вполне легальное использование различных приемов в новом необычном ракурсе.

Особого порядка в чередовании советов нет: из текущего совета могут производиться ссылки[7] как на последующие, так и на предыдущие советы. Так что читатель может начать знакомство с советами не по порядку, а наугад, выбрав из оглавления то, что его больше заинтриговало.

Совет 1. Не используйте оператор присваивания

01 Не используйте оператор присваивания.bmp

Пакет Mathcad часто называют суперкалькулятором: если за введенным выражением, содержащим константы, переменные, операторы и функции, набрать «=» (знак равенства), то будет выведен численный результат:

125 + a² – sin(b) = 2.753

Естественно, переменные, входящие в выражение (в нашем случае это a и b), должны быть определены заранее – им следует предварительно присвоить какое-либо числовое значение.

Оператор присваивания (ввода) в среде Mathcad имеет символ «:=». Его обычно набирают, нажимая только клавишу «:» (двоеточие) – второй символ (равно) система Mathcad любезно припечатывает сама, передвигая курсор на место ввода выражения (placeholder):

Суть совета.

Вводя в Mathcad-документ оператор присваивания[8], стоит нажимать не клавишу «:», а клавишу «=». Резон здесь в том, что если переменная, введенная до этого, не определена, то оператор «=» (вывод) автоматически превращается в оператор «:=» (ввод). Если же переменная, которой присваивается значение, уже определена, то выводится ее численное значение. Этим еще раз проверяется, что данная переменная свободна – ей ни пользователем, ни системой пока еще ничего не присвоено. Так мы обезопасим себя от ряда ошибок. Во-первых, можно ненароком «испортить» какую-либо предопределенную переменную: е:=5, m:=1, A:=2. Переменная е хранит основание натурального логарифма, а переменные m и А – единицы измерения длины (метр) и силы тока (ампер), соответственно. Во-вторых, можно забыть, что какая-либо переменная уже «нагружена» пользователем, и присвоить ей что-то новое. Ситуация, когда переменная в одной части Mathcad-документа имеет одно значение, а в другой – иное, не совсем нормальна.

Прием переопределения переменных был в ходу в те времена, когда память компьютера являлась лимитирующим параметром при решении задач и когда «освободившуюся» переменную приходилось немедленно «загружать» хранением другой величины. В настоящее время таким образом приходится поступать при размещении в памяти компьютера объемных массивов (векторов и матриц, простых и составных).

Режим автоматической замены оператора «=» на оператор «:=» (подобный гибрид двух операторов называется Smart Operator – «сообразительный» оператор) можно отключить через команду Preference… меню View (см. в конце рисунка диалоговое окно, вызываемое этой командой).

Оператор ввода числового значения переменной являлся и является неким камнем преткновения для тех, кто лет десять назад пытался освоить Mathcad, наслышавшись о его необыкновенных способностях легко строить графики, решать уравнения и системы. Люди по привычке, выработанной работой с языками fortran или BASIC, набирали в среде Mathcad «a=» вместо «a:» и… отказывались от дальнейшей работы из-за возникавшей непонятной ошибки – система Mathcad сообщала, что переменная a не определена. Ее пытались определить оператором задания типа переменной, но такого в среде Mathcad не было и нет. Фирма MathSoft только в седьмой версии «сдалась» и перестала добиваться от пользователей набирать «а:» вместо более привычного и естественного «a=». Теперь маятник качнулся в обратную сторону: первым советом настоящей книги рекомендуется для ввода значения переменной набирать не «а:», а «а=». Можно было бы порекомендовать разработчикам Mathcad вообще исключить оператор «:=» из арсенала этого пакета, если бы не необходимость использования его для изменения значения предопределенной переменной и для объявления функции пользователя. Хотя и здесь можно обойтись без ввода оператора «:=», скопировав его в другом месте, где он был создан оператором «=».

Примечание. На рисунке показан Mathcad-документ в режиме, когда отдельные операторы имеют белую подложку на сером фоне. В таком режиме будут показаны те Mathcad-документы, чтение которых при этом облегчается: белое обрамление на светло-сером фоне четко обрисовывает отдельные операторы.

Непронумерованный совет. Начинающему пользователю Mathcad желательно работать в режиме фонового выделения операторов Mathcad-документа (см. рисунок). Это особенно полезно, когда на одной строке близко друг от друга расположено несколько операторов и не всегда ясно, где кончается один и начинается другой. Этот режим просмотра (показа) Mathcad-документа зависит от положения переключателя Regions меню View.

Примечание. В среде Mathcad 2000 символы операторов «=» и «:=» стало возможным прописывать одинаково: «=».

Совет 2. Символьный вывод вместо числового

02 Символьный вывод вместо числового.bmp

Иногда вместо оператора «=» (вывод числового значения выражения или переменной ¾ см. совет 1 ) стоит использовать оператор «®» (вывод символьного значения). На рисунке[9] показаны три резона такой замены:

• Пункт 1: оператор «=» выводит до 15 знаков в мантиссе (см., например, окно форматирования чисел на рисунке к совету 7 ); оператор «®» – до 250 (на нашем рисунке двадцать знаков – ключ ключевого слова float[10]).

• Пункт 2: оператор «®» позволяет получать абсолютно точные ответы за счет вывода всех значащих цифр (пункт 2.2) или за счет представления числа в виде простой дроби (пункт 2.4).

• Пункт 3: оператор «®» в сочетании с оператором k := k (лишение переменной ее численного значения в отношении оператора символьной математики) позволяет вывести численный ответ, включающий символьные константы (этого, правда, можно добиться, просто припечатав переменную к ответу на манер единиц измерения физической величины – см. пункт 2 на рисунке к совету 4 ).

Внимание! На рисунке в пункте 3.2 записано 123/2, а не 66.5: для символьной математики Mathcad – это разные числа. Если бы в пункте 3.2 было бы записано 66.5, то и ответ бы был другой – 259.5×k. Символьный ответ необходимо предварять «символьным» вопросом.

В конце рисунка данного совета показаны еще три примера того, что в ряде случаев символьная математика Mathcad не только точнее вычислительной (см. выше), но и того, что символьная математика исправляет фактические ошибки математики вычислительной. У последней одно достоинство – она работает намного быстрее, в частности, за счет оптимизации произведения. Функция f(x) при x=0 выдает «вычислительный» нуль, а не сообщение об ошибке («символьный» ответ) из-за того, что вычислительная математика Mathcad выдает нуль, если первый сомножитель равен нулю. Символьная математика в этом случае проверит, чему равны остальные сомножители. Такой же парадокс наблюдается при попытке инвертирования сингулярной матрицы (пункт 2). Нужно также помнить о том, что «бесконечность» вычислительной математики и «бесконечность математики аналитической – это разные вещи (см. пункт 3).

Совет 3. Сочетание вывода символьного и аналитического значений

03 Сочетание вывода символьного и аналитического значений.bmp

Иногда стоит не противопоставлять операторы вывода символьного и численного ответов (см. совет 2), а сочетать их в одном выражении. На рисунке дается три примера такого сочетания:

· Пункт 1: при вычислении можно одновременно получить ответ в виде и простой и десятичной дроби.

· пункт 2: при решении алгебраического уравнения можно получить и абсолютно точные и приближенные, но «говорящие» ответы («говорящие» в том смысле, что местоположение корней на числовой оси видно сразу).

· пункт 3: вычисление выражения можно предварить его упрощением. Такую работу выполняет режим Optimize, но в нашем примере мы опять же одновременно видим и аналитический (полином четвертой степени) и числовой ответы.

См. также пункт ??? в главе «Mathcad ММ: новая программа – новые возможности», где рассматривается необходимость не одиночного, а «серийного» использования оператора вывода числового значения. «Серийный» вывод символьного значения в реальной, а не в фантастической среде Mathcad допустим. Так, например, при решении алгебраического уравнения можно сначала вывести аналитическое решение, а затем и числовое – см. конец рисунка.

Совет 4. Константа в числовом ответе

04 Константа в числовом ответе.bmp

Многие пользователи не знают, что у основного оператора Mathcad «=» (оператора вывода числового значения – см. совет 1 ) не один, а два операнда:

= []

В первый (левый) квадратик (placeholder – держатель места для операнда) пользователь Mathcad записывает алгебраическое выражение (или переменную), численное значение которого появляется во втором (среднем) квадратике (см. совет 1 ). В третий (правый) квадратик пользователь может (квадратные скобки подчеркивают необязательность этого операнда) записать любую константу или переменную, определенную к данному моменту. Обычно туда записывают встроенные или пользовательские (см. совет 16 ) единицы измерения физических величин, получая разные ответы (см. главу «Mathcad и размерности физических величин»):

D = 200×cm, или D = 2×m

На рисунке показано два других примера подстановки константы в числовой ответ:

• Пример 1. В мультфильме «Тридцать восемь попугаев» Удава измеряют попугаями, мартышками и слонами. Если задать (подобрать) размеры животных, то Удав «укладывается» в пять мартышек, или в два слона, или в 38 попугаев и еще одно попугайское крылышко. «А в попугаях-то я гораздо длиннее!».

• Пример 2. В корнях тригонометрических уравнений нередко «спрятано» число p. Если это число подставить в качестве необязательного операнда оператора «=», то, во-первых, можно при численном решении найти абсолютно точный ответ (одна четвертая p, а не 0.7855…), а во-вторых, найти все ответы (одна четвертая p с периодом 1). В ответ, как мы видим, можно подставлять не только константы и переменные, но и выражения – p, 2 × p, 3 × p и т.д.

Данный совет назван «Константа в числовом ответе». Но его можно озаглавить и так «Разбиение числового ответа на сомножители». В таком произведении, как правило, первый сомножитель это числовая константа, а второй – единица измерения физической величины: 25 km, 45.5 кг и т.д. В пункте 26 главы «Mathcad ММ: новая программа – новые возможности» обсуждается необходимость разбиения ответа не только на сомножители, но и на слагаемые.

Совет 5. Типовая тройка операторов

05 Типовая тройка операторов.bmp

Вверху на рисунке представлен типовой фрагмент Mathcad-документа с заголовком «Исходный вариант расчета»: пользователь пишет текст, комментирующий дальнейшие действия (Время), вводит в расчет переменную (t), присваивая ей числовое значение с единицей измерения времени (360 секунд), и выводит ее «на печать», сопроводив для разнообразия другой единицей измерения времени (минуты). Такими тройками операторов[11] можно заполнить весь Mathcad-документ, решив поставленную задачу (расчет скорости, как на нашем рисунке). Неудобство такой технологии состоит в том, что при переносе фрагментов на новое место можно операторы, входящие в него, «растерять по дороге». Кроме того, если оператор вывода («=») расположить чуть-чуть выше оператора ввода («:=»), то нарушится причинно-следственная связь и появится сообщение об ошибке: «Переменная имярек не определена».

Непронумерованный совет. При написании нового Mathcad-документа следует располагать операторы столбиком, по одному на каждой строке. В готовом документе можно будет перейти «от линии к поверхности», расположив по несколько операторов на одной строке документа и сделав его тем самым более компактным, соответствующим европейской традиции: сначала пишут слева направо до края страницы и только потом переходят на новую строку. (В среде Mathcad можно перейти не только от «линии» к «поверхности», но и к «объему», когда один оператор накрывает другой. Такой «объемный» документ получается, когда выделенный ряд (столбец) операторов по ошибке или специально выравнивается по вертикали (горизонтали).

Внизу рисунка отображена другая технология ведения расчета: пишется комментарий (Время) с шестью пробелами на конце. Далее в середину цепочки пробелов и в ее конец вставляются математические области (команда Math Region в меню Insert), а в них – операторы ввода и вывода. Полученный таким образом конгломерат (текст, три пробела, оператор ввода, три пробела и оператор вывода) можно без опаски перетаскивать с места на место. Три нижних оператора рисунка, составляющих некий смысловой фрагмент расчета, можно, в свою очередь, превратить в один оператор: текст, состоящий из трех строк, в которые вставлены шесть математических областей (три оператора ввода и три оператора вывода). Можно попытаться и весь расчет «запихнуть» в один текстовый комментарий, но такой объединенный оператор становится трудно редактировать: во всем нужно знать меру.

Математические вставки в комментарии отличаются от текста, во-первых, цветом и шрифтом (умолчание Mathcad). Во-вторых, в режиме фонового выделения математические вставки имеют более широкое белое обрамление: на рисунке этот белый фон у математических формул специально расширен при доработке рисунка в среде графического редактора.

Совет 6. Ввод исходных данных с проверкой

06 Ввод исходных данных с проверкой.bmp

Как правило, переменная, вводимая в расчет, должна иметь ограниченный диапазон разумных значений, в который пользователь может по ошибке не попасть. В такой ситуации целесообразно организовать проверку правильности введенного значения. На рисунке пользователя «просят» присвоить переменной t значение комнатной температуры, которая не опускается ниже, допустим, минус 20 градусов Цельсия (здесь оператор арифметического сложения выполняет функцию логического сложения – см. совет 12 и пункт ??? в главе Mathcad 2000: первые впечатления) и не поднимается выше плюс сорока градусов (о градусах Цельсия см. в совете 64 ). Если же пользователь ненароком ошибется и не попадет в оговоренный диапазон, то в переменную t будет записано текстовое значение (“Не может такого быть!”), которое заблокирует дальнейшие расчеты.

Второе выражение с функцией if заключено в рамки (находится внутри области Mathcad-документа – см. совет 62), которые захлопываются, чтобы не смущать пользователя – см. команду Collapse из контекстного меню, которое «выпадает», если внутрь области поместить курсор и нажать правую кнопку мышки. Сама область (две горизонтальные линии) вставляется командой Area в меню Insert.

Совет 7. Ввод объемной матрицы с типовыми элементами

07 Ввод объемной матрицы с типовыми элементами.bmp

Для ввода в расчет вектора или матрицы (массива) обычно прибегают к команде Matrix… в меню Insert (или нажимают кнопку с изображением матрицы). После этого на дисплее появится диалоговое окно с запросом о числе строк и столбцов создаваемой матрицы. Этот путь имеет ряд неудобств. Во-первых, размер матрицы, вводимой таким способом, ограничен 100 элементами, в то время как матрица может содержать до 8 миллионов элементов (ограничение Mathcad). Такую проблему можно решить, создав несколько маленьких матриц и «склеив» их в одну большую функциями stack и augment (см. совет 13 ). Второе неудобство связано с тем, что в созданной через команду Matrix матрице все элементы пустые и их приходится вводить вручную. Из-за этого, наверное, и введено ограничение на 100 элементов, которые еще можно ввести с клавиатуры. Большое количество элементов требует иной технологии ввода, пример которой составляет суть данного совета.

В Mathcad-документе на рисунке автоматически создается и выводится на дисплей объемная матрица, содержащая типовой элемент (в нашем случае это 1.0). Размер матрицы также задается пользователем[12]. Затем эта матрица копируется в правый операнд оператора присваивания и редактируется: 1.0 заменяется на что-либо другое. Здесь мы предположили, что элементы матрицы – это числа в интервале от 1 до 2. Нам не нужно будет вводить вручную единицы и точки – достаточно отредактировать нуль. Можно в матрицу-полуфабрикат записать разные числа, воспользовавшись функцией Matrix или технологией, описанной в совете 8 . При выводе матрицы М для дальнейшего ее копирования важно правильно ее отформатировать. Внизу на рисунке показан фрагмент окна форматирования, где пользователь отмечает, что:

· за десятичной точкой выводится один знак (Displayed precision – по умолчанию показываются три знака, максимальное количество знаков – 15);

· необходимо показывать также и незначащие нули (1.0, а не просто 1 – Show trailing zeros); по умолчанию такие нули не показываются;

· матрицу нужно показывать всю в виде матрицы (Matrix), а не в виде таблицы с полосами прокрутки (см. рисунок к совету 8 ); по умолчанию система Mathcad сама выбирает форму показа матриц[13].

Непронумерованный совет. Подобную матрицу лучше создать, считав файл с диска (см. совет 57 ) или внедрив в Mathcad-документ таблицу Excel через команду Component… из меню Insert. Эта команда, честно говоря, сводит на нет ценность данного совета. Дело в том, что в среде Excel есть средства быстрого заполнения матриц не только одинаковыми значениями, но и значениями, по определенному закону (по прогрессии).

Совет 8. Вывод объемной матрицы

08 Вывод объемной матрицы.bmp

Некоторые затруднения могут возникать не только при вводе объемной матрицы (см. совет 7 ), но и при ее выводе на экран дисплея и на бумагу принтера. По умолчанию на дисплей выводится только левый верхний угол объемной матрицы в виде таблицы, боковик которой хранит номера строк, а шапка – номера столбцов (на рисунке к совету 7 это умолчание мы нарушили). Если матрица не выводится вся сразу, то справа и внизу выведенной таблицы помещаются полосы вертикальной и горизонтальной прокрутки с бегунком, двигая который можно последовательно просмотреть всю выведенную матрицу: технология скроллинга таблицы. Другой случай – вывод объемной матрицы не в виде таблицы, а в виде матрицы (см. совет 7) и просмотр ее уже с помощью полос прокрутки самого окна Mathcad-документа.

Если же объемная матрица выводится на печать (а на листе бумаги нет, к сожалению, полос прокрутки), то можно рекомендовать распечатать несколько раз матрицу-таблицу, выставив предварительно с помощью бегунка отдельные ее части – см. рисунок, где матрица М три раза выведена таким образом, что видны все ее элементы.

Совет 9. Не пропускайте знака умножения

09 Не пропускайте знака умножения.bmp

В среде Mathcad допустимо не ставить знак умножения между сомножителями. Этот прием как бы еще больше приближает записи в Mathcad-документе к записям, сделанным от руки: 2 а, а не 2 × а, 5 kg, а не 5 × kg и т.д. В среде Mathcad 2000 стало возможным ставить между сомножителями не только точку или пробел, но и другие символы, закрепившиеся в математике за операцией умножения (см. пункт 12 в главе «Mathcad 2000»).

Однако ниже приводятся три довода против замены знака умножения пробелом – против использования приема, идущего вразрез с программистской практикой всегда ставить знак умножения (звездочку) между сомножителями: 2 _* а, 5 _* kg и т.д.

Во-первых; в конструкции 2 × а все более-менее ясно: двойка умножается на переменную а. Выражение 2 а несет в себе двусмысленность: это и произведение 2 на а, и постфиксный оператор с именем а, операнд которого – константа (двойка).

Во-вторых; неизвестно, как поведет себя выражение 2 а, если к конструкции, куда оно входит, приложить средства символьной математики.

Третий довод проиллюстрирован рисунком. Если от двух отнять единицу (см. пункт 3), то должна получиться единица, но уж никак не двойка, да еще с минусом. Секрет «фокуса» прост, но эта простота уж точно «хуже воровства». Дело в том, что в приведенном примере не единица вычитается из двух, а двойка умножается на минус[14] единицу. Услуга Mathcad (программисту не нужно вводить знак умножения) здесь оказалась «медвежьей». Другая двусмысленность (см. пункт 2 на рисунке): k a – это переменная k, умноженная на переменную a, или переменная, имя которой состоит из трех символов, второй из которых – пробел (см. советы 14 и 18 ). Другое толкование: k a – это постфиксный оператор с операндом k или префиксный оператор с операндом a.

Можно считать, что в Mathcad встроено два оператора умножения. Символ первого – «×» (точка), а второй не имеет символа. А вот еще два «бессимвольных» Mathcad-оператора: возведение в степень (x^y) и обращение к элементу массива (V_i или M_i_,_j).

За пробелом может скрываться не только знак умножения, но и знак сложения. Это, правда касается не реального, а фантастического Mathcad'а – см. пункте 26 главы «Mathcad ММ» и просто математики. Если мы видим запись 1 час 30 мин, то мы не перемножаем 1 час на 30 минут, а складываем эти размерные величины. В простых дробях (1 ⅔, например) мы складываем составляющие, а не перемножаем их.

В примерах данной книги всегда проставлены знаки умножения даже там, где можно их и не ставить: в книге не только даются советы читателям, но и выполняются данные рекомендации.

Заканчивая совет о знаке умножения, отметим еще раз, что в среде Mathcad 2000 стало возможным между сомножителями ставить не только точку или пробел, но и другие символы: «андреевский крест», жирная точка и др. – см. пункт 12 в главе «Mathcad 2000».

Совет 10. Глобальное присваивание при решении системы

10 Глобальное присваивание при решении системы.bmp

Для решения систем алгебраических уравнений и неравенств в среде Mathcad предназначена встроенная функция Find. Обычно система решается так: с помощью операторов присваивания «:=» задается первое приближение к корню системы[15]. Далее записывается ключевое слово Given (дано), вводится система равенств и/или неравенств (нельзя только использовать булевый оператор «¹» – не равно) и, наконец, вызывается функция Find, которая возвращает в виде вектора-столбца значения своих аргументов, превращающих систему уравнений в систему тождеств. В ряде случаев решение системы требует изменения значений встроенных переменных TOL и CTOL, влияющих на точность расчета. Очень часто такая технология требует последовательных приближений к нужному корню. В этом случае рекомендуется изменить вышеописанный порядок записи операторов (но не порядок их выполнения) – «опустить» с помощью оператора «º» первое приближение и другие начальные установки под функцию Find. Если система объемная и вся не умещается на экране дисплея, то порядок операторов, показанный на рисунке, исключит необходимость прокрутки (скроллинга) Mathcad-документа для корректировки исходных данных и просмотра результата.

Совет 11. Лишние скобки

11 Лишние скобки.bmp

Многие функции Mathcad в качестве аргумента имеют вектор или матрицу (массив) – собрание скалярных величин, оконтуренных скобками. С другой стороны, атрибутом функции опять же являются скобки, в которые заключается аргумент. Из-за этого при традиционном вызове функции с аргументом-вектором (см. первый оператор на рисунке) получаются двойные скобки («масло масляное»), которые могут смущать пользователя: он пытается убрать пару «лишних» скобок, не понимая, почему этого сделать нельзя. Выход из положения – вызов «матричной» функции (функции, у которой аргумент – массив) не в виде функции, а в виде префиксного оператора, операнд которого не требует «скобочного» обрамления (второй оператор на рисунке).

На рисунке показаны диалоговые окна создания трех важнейших объектов Mathcad:

· Вставка встроенной функции – Insert Function; показан порядок ввода в Mathcad-документ функции mean, возвращающей среднее арифметическое элементов массива.

· Вставка массива – Insert Matrix; показан порядок ввода в Mathcad-документ вектора-строки – матрицы с одной строкой (Rows) и с несколькими столбцами (Columns).

· Вставка префиксного оператора через кнопку fx окна Evaluation.

Первые два объекта можно ввести и без вызова показанных на рисунке диалоговых окон [16]. Третий объект нужен не так часто, как два первых, поэтому он вводится только одним способом – через диалоговое окно Evaluation.

Еще один пример обоснованности использования лишней пары скобок. Очень часто Mathcad-программы включают в себя оператор досрочного прерывания программы (return) по условию (if):

return A if B>C

При вводе данной конструкции нужно сначала вводить оператор if и только потом return. Этот порядок ввода можно отметить скобками:

(return A) if B>C

Совет 12. Тройка булевых функций

12. Тройка булевых функций.bmp

В списке встроенных операторов и функций до Mathcad 2000 (см. пункт 1 в главе «Mathcad 2000») не было булевых функций And, Or (логическое «и», логическое «или») и Not (логическое отрицание), присутствующих во всех языках программирования и использующихся при реализации всякого рода логических схем, при организации циклов и альтернатив. Сейчас будет рассказано, как в среде Mathcad до 2000-й версии приходилось решать эту проблему и почему эта проблема до конца не снята в Mathcad 2000.

Во-первых, нужно вспомнить, что логическое «и» и логическое «или» имеют и такие названия: «логическое умножение» и «логическое сложение» – данные функции можно реализовать через привычные операторы умножения и сложения (см. пункт 1 на рисунке[17]); в среде Mathcad логическое «нет» – это нуль, а логическое «да» – число, отличное от нуля.

Во-вторых, функции логического «и» и логического «или» можно определить (см. пункт 2 на рисунке). При этом булевых аргументов – элементов соответствующих векторов ¾ операторов произведения и суммирования может быть любое (переменное) количество. (Непронумерованный совет. Стоит определить по паре функции с различными именами And-И – Or-ИЛИ, удовлетворив тем самым и «славянофилов» и англоманов.)

В-третьих, в среде Mathcad уже есть встроенные функции, вполне пригодные для решения логических задач, – это min и max (см. пункт 3 на рисунке). Более того, они удобны вот еще чем:

· не нужно «засорять» Mathcad-документ дополнительными пользовательскими функциями And, Or, И, ИЛИ и т.д., встроенными или пользовательскими.

· аргументом функции min и max могут быть и матрица, и вектор-строка, и вектор-столбец, что позволяет делать записи более компактными;

· функции min и max в качестве своих аргументов (элементов массивов) могут иметь не только логические выражения (да – нет, 1 – 0), но и вещественные, плавно меняющиеся от нуля до единицы. Тем самым можно работать не только с четкой, но и с нечеткой логикой (fuzzy logic).

Непронумерованный совет. Если необходимо ускорить работу программы то, стоит вместо оператора Ù или функции min (And) использовать оператор умножения и по возможности ставить первым сомножителем (первым операндом) выражение, чаще всего принимающее нулевое значение. Дело в том, что оператор умножения в целях ускорения расчетов сразу выдает нуль, если первый сомножитель равен нулю. Функция же min (And) и оператор Ù излишне педантична: оно перебирает все элементы матрицы или вектора – своего аргумента.

Совет 13. Переопределение встроенной функции

13 Переопределение встроенной функции.bmp

Mathcad предоставляет пользователю уникальную возможность переименования и переопределения встроенных функций. С переименованием (старое содержание в новой форме) все более-менее ясно: определяется новая функция пользователя, полностью совпадающая с одной из встроенных. Зачем это делается? На рисунке в пунктах 1 и 2 приведены два примера такого переименования. Во-первых, можно заменить короткое английское имя функции (identity), например, на более полное национальное (Единичная квадратная матрица – см. пункт 1). Получается некий гибрид функции и комментария к ней. Функция с новым именем в пункте 1 вызывается в виде префиксного оператора (fx), а не в виде функции, что позволяет избавиться от скобок и сделать оператор создания новой матрицы абсолютно естественным (см. также совет 11 ). Этому способствуют также три пробела в новом имени функции (см. советы 14 , 15 и 18).

В пункте 2 имя новой пользовательской функции, повторяющей встроенную (augment - «горизонтальное» слияние двух матриц), сокращается до одного символа. Это позволяет сократить объем программы, где данная переименованная функция будет многократно использоваться. Кроме того, английское слово заменено на символ «стягивания», который легче запомнить.

В пункте 3 переопределяется (новое содержание в старой форме) встроенная функция stack, что позволяет визуализировать ее сущность. Функция augment (см. пункт 2 на рисунке) осуществляет «горизонтальное» слияние двух матриц – ее аргументы также расположены «горизонтально». Функция stack предназначена для «вертикального» слияния матриц, но ее аргументы расположены по-прежнему «горизонтально» (см. пункт 3.1), что не совсем логично. Переопределение функции stack – замена двух аргументов на один – вектор-столбец с двумя элементами (пункт 3.2) – позволяет восстановить «геометрическую» логику функций слияния матриц.

Примечание. Нельзя переопределять встроенные функции WRITEPRN и APPENDPRN. Их работа рассматриваться в совете 57 .

В среде Mathcad допустимо сокращать процесс переопределения функции:

но этот прием не является документированным

Совет 14. Спецсимволы в именах переменных и функций

14 Спецсимволы в именах переменных и функций.bmp

На имена переменных и функций языков программирования всегда накладываются некоторые ограничения. Mathcad по сравнению с традиционными языками подобных ограничений имеет меньше: в имени Mathcad-переменной могут быть греческие буквы, буквы кириллицы, нижние индексы и т.д. Все это позволяет переменным давать имена, которые закрепились за ними в математике (p, а не PI, например), физике (t_вх), химии и других научных дисциплинах задолго до появления компьютеров. С другой стороны, имена Mathcad-переменных имеют собственные ограничения, связанные, можно так сказать, с плохой «наследственностью», препятствующей вставке в имена некоторых символов: «$», «&», «?» и т.д. Дело в том, что эти и другие символы (клавиши клавиатуры) нагружены функциями ввода в Mathcad-документ операторов суммы («$»), интегрирования («&»), дифференцирования («?»), произведения («#») и т.д. Если при написании имени переменной нажать эти клавиши, то указанный символ не появится, а возникнет заготовка соответствующего оператора (см. колонку «Горячая клавиша» в таблице «Встроенные операторы Mathcad»). Но спецсимволы и даже пробелы в имена пользовательских переменных и функций при желании ввести можно.

Прием снятия «традиционных» ограничений с имен переменных имеет свою историю. В совете 30 рекомендуется для комментирования операторов, входящих в Mathcad-программы, использовать текстовые переменные – цепочки символов, обрамленные кавычками. В такие цепочки могут входить пробелы и другие вышеотмеченные символы («$», «?», «&» и т.д.). При редактировании Mathcad-программы иногда возникает «глюк», приводящий к тому, что текстовые константы, играющие роль комментария, лишаются своих кавычек и «краснеют», отмечая возникшую в программе ошибку. Нет худа без добра – возникшей ситуацией (превращение текстовой константы в имя) можно воспользоваться, что и показано на рисунке. «Покрасневшую» цепочку символов следует скопировать и использовать далее в качестве имени переменной или функции.

У приема ввода в имени Mathcad-пробелов и спецсимволов (а многие считают это чистой воды крамолой) есть такое «историческое» обоснование: в среде DOS и Windows 3.* в именах файлов не могло быть пробелов, букв кириллицы и других спецсимволов. В среде Windows 95/98 такого ограничения уже нет.

Совет 15. Пронумерованные имена переменных

15 Пронумерованные имена переменных.bmp

В совете 14 было показано, как можно снять с имен Mathcad-переменных некоторые ограничения – вставить в них пробелы и спецсимволы. Но некоторые ограничения в именах все же остаются. В частности, в имени Mathcad-переменной нельзя увидеть точку: вставить точку можно, но потом (после увода курсора) точка пропадает, разделяя имя переменной на две половинки ¾ на само имя и на нижний текстовый индекс: было t.вх – стало t _вх. Нижний текстовый индекс в Mathcad-документах не совсем желателен, так как его можно спутать с оператором указания элемента в векторе – с нижним числовым индексом. Продолжая аналогию, проводимую в предыдущем совете, можно отметить, что точка несколько двусмысленна и в имени файла операционной системы Windows 95/98: по традиции точка отделяет имя файла от его расширения (его «фамилии»). Если в полном имени файла больше одной точки, то не всегда понятно, где кончается имя и начинается расширение. Второе ограничение состоит том, что нельзя начинать имя переменной с числа[18]. Но, имеется в виду, что это арабское число. А кроме арабских есть и римские числа. На рисунке представлено решение типичной задачи линейного программирования: мебельная фабрика может выпускать стулья двух типов ценою в 70 и 108 у.е.[19] Под этот заказ выделены материальные и людские ресурсы – известно, сколько досок, ткани и времени идет на изготовление каждого стула:

Стул	Расход досок, м	Расход ткани, кв м	Расход времени, человекочасы
Первый	2	0.5	2
Второй	4	0.25	2.5
Ресурс	440	65	320

Спрашивается, как нужно спланировать производство стульев, чтобы их стоимость была максимальной.

Неизвестные этой задачи – две пронумерованные переменные со спецсимволами внутри (знак минуса и пробел): I-й стул и II-й стул.

Графическое решение задачи – см. совет 22 .

Совет 16. Пользовательские единицы измерения физических величин

16 Пользовательские единицы измерения физических величин.bmp

В Mathcad встроено довольно много предопределенных переменных, хранящих встроенные единицы измерения физических величин в разных системах (см. приложение 6). Но пользователь вправе расширить этот список и ввести в расчет пользовательские единицы (см. рисунок), связав их со встроенными через соответствующие коэффициенты[20].

В начале расчета пользователь может не знать, какие новые единицы ему понадобятся. Их можно вводить в расчет по мере необходимости: нужно, например, вывести время в неделях – достаточно вернуться в «голову» расчета и записать неделя:=7 × day и т.д.

(да, именно 7 day, а не 7day – см. совет 9).

Оператор м := m удобен вот еще чем. Можно забыться и в расчете присвоить переменной m (а она очень популярна) какое-либо новое значение (см. совет 1 ). Это действие может поломать всю стройную систему физических величин, заложенную в Mathcad. Оператор м := m освобождает переменную m для хранения чего-либо другого.

Совет 17. Единицы измерения нефизических величин

17 Единицы измерения нефизических величин.bmp

В совете 15, рассматривая задачу линейного программирования – задачу о поиске плана выпуска стульев, мы не задействовали единицы измерения величин, хотя в описании задачи они упоминались (см. таблицу в совете 15 ). В задаче наряду с физическими (метр, квадратный метр и час) задействованы счетные (стулья, люди) и финансовые единицы.

В пакет Mathcad встроены системные переменные (см. приложение 6), хранящие единицы измерения физических величин. На рисунке решается задача о плане выпуска стульев с использованием единицы измерения всех величин, входящих в расчет.

«Единица измерения» американской валюты ($US) вводится в расчет по принципу «Время – деньги»: физическая величина «время» в данном расчете не используется, и ее временно (нечаянный каламбур) можно «нагрузить» иной функцией. Конечно, проще написать: $US := 1 и шт := 1 (у нас штуки «привязаны» к молям, которые также не задействованы в расчете), но это чревато следующей ошибкой:

$US + шт = 2

Здесь должен появляться не числовой ответ (двойка), а сообщение об ошибке: «Несовместимые размерности». В расчет, приведенный на рисунке, физические и прочие величины введены не только для большей «читабельности» задачи, но и для контроля соответствия размерностей в введенных формулах.

Совет 18. Еще раз о спецсимволах в именах переменных

18 Еще раз о спецсимволах в именах переменных.bmp

Прием вставки в имена переменных пробелов и других спецсимволов, описанный в совете 14 , был опубликован авторами на сайте фирмы Mathsoft (разработчик Mathcad) – на сайте под названием Collaboratory («совместная работа» – http://webserve.mathsoft.com/mathcad/collab) – в интригующем виде:

I have spaces in var-name := 10

Can you do it? := 2

I have spaces in var-name + Can you do it? = 12

На это последовали отклики трех сортов:

1) А зачем это надо?!

2) Как вы ухитряетесь делать это?

3) Я давно вставляю спецсимволы в имена переменных, но не знал, что туда можно вносить и пробелы.

Последний отклик опирается на тот факт, что при формировании имени переменной и функции особым аккордом (Shift+Ctrl+k)[21] можно заблокировать то, что система Mathcad воспринимает нажатия пользователем спецсимволов (пробел, $ и др.) как ввод команды охвата курсором имени переменной (пробел) или оператора суммы ($). На рисунке отображено формирование переменной с двумя пробелами и символом «$» внутри имени (Цена в $US). Вторую переменную с одним пробелом внутри (Российский рубль) можно получить, скопировав и отредактировав первую. При редактировании нельзя вставлять пробелы и спецсимволы. Для этого необходимо снова воспользоваться вышеописанным аккордом (в совете 54 описан и третий способ создания нестандартных имен переменных и функций).

Совет 19. Функция-невидимка и функция-оборотень

(Начало темы – см. пункт 23 в статье «Mathcad MM»).

19 Функция невидимка и оборотень.bmp

В совете 15 было рекомендовано для нумерации переменных записывать в начале их имени не арабское число (это там невозможно), а римское. (Можно, правда, писать Первая переменная, Вторая переменная и т. д., заменяя числа словами).

Многие люди могут считать «по-римски» только до двенадцати, связывая такой счет с циферблатом часов. Но с прямыми аналогами римских чисел мы сталкиваемся не только, уточняя время, но и проводя финансовые расчеты: сумма денег – это арабское число, а разложение ее на банкноты и монеты – римское. Программа, помещенная на рисунке, пригодится в работе, например, банкомата.

Но не только для этого приведена здесь эта программа, а для того, чтобы дать читателю несколько советов.

Многие встроенные функции и операторы Mathcad и других программных сред имеют обратные аналоги: sin – arcsin, е^x – ln(x), дифференцирование – интегрирование и т.д. Создавая пару пользовательских функций (прямая – обратная), можно поступить следующим образом: создать одну функцию, а вторую (обратную) написать с опорой на первую. Если аргумент функции – вещественное число, то задача сводится к поиску корня уравнения, если же аргумент – целое число, то задача может решаться, например, перебором, если таких чисел не слишком много.

На рисунке представлена такая «двухсторонняя» функция. Она возвращает римское число, если ее аргумент арабское число, и возвращает арабское число, если ее аргумент римское число. В одной функции заложены и прямой и обратный алгоритмы. Функция определяет, в каком направлении вести преобразование, ориентируясь на тип аргумента. Если значение аргумента (см. оператор if) текст (string – здесь работает встроенная булева функция IsString), то ищется арабское число, если нет (otherwise) – римское.

Апофеоз технологии ввода в имена спецсимволов и пробелов (см. советы 14 и 18 ) – это представленная на рисунке пользовательская функция, имя которой состоит всего лишь из одного пробела. Спрашивается – на что такая функция может сгодиться.

Функция-аноним позволяет не только ввести пересчет чисел, не загромождая Mathcad-документ лишними словами и символами (“XXV”=25 ясно и без комментариев), но и имитировать расчеты (вычитание, корень, синус) с римскими числами (см. конец рисунка). Фокус здесь в том, что наша функция вызывается не в традиционном виде, а в виде префиксного или постфиксного операторов: скобок, обрамляющих аргумент (вернее, операнд), там нет (см. совет 11 ), да и сам символ оператора невидим. Отсюда и полная иллюзия того, что Mathcad умеет работать с римскими числами безо всяких дополнительных инструментов – операторов и функций.

Советы, на которые наводит изучение рисунка:

1. В некоторых случаях целесообразно объединять в одной функции алгоритм прямого и обратного расчетов. Резон здесь в том, что у этих алгоритмов может быть общая база (в нашем случае это пары римских и арабских чисел): одна общая программа короче двух самостоятельных.

2. Иногда объекту целесообразно дать имя, не видимое в Mathcad-документе. Это может быть пробел (пример практического использования этого приема – совет 64 ) или цепочка пробелов (другой подход: имя не пробел, а символ, но имеет белый цвет шрифта – см. совет 5 9). Переменных или функций, имя которых – один пробел, может быть несколько, различающихся стилем (см. совет 52).

3. Функция, помещенная на рисунке, может быть использована для шифровки сообщений. Своему торговому агенту допустимо, например, послать такое сообщение: «Минимальная цена MM, максимальная – MMCD». Если есть опасения, что конкурент, от которого защищается сообщение, знаком с римскими цифрами, то можно использовать другие пары чисел: аналог арабских чисел – это, например, числа Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13 и т.д. – до бесконечности), а их римские аналоги – это их порядковый номер («1», «2», «3», «4», «5», «6» и т.д.).

Совет 20. Добавляем лишние скобки

20 Добавляем лишние скобки.bmp

Читатель, наверное, уже заметил, что некоторые советы книги противоречат друг другу. В совете 11 давались рекомендации по исключению из Mathcad-выражений лишних скобок. Сейчас же речь пойдет о вставке дополнительных скобок.

В пункте 1 на рисунке скобками еще раз отмечается, что в среде Mathcad, как и во всех других средах программирования и вообще в математике, – оператор возведения в степень «главнее» оператора умножения, который, в свою очередь, «главнее» оператора сложения[22]. Скобки здесь еще раз подчеркивают данную иерархию операторов, о которой не все могут догадаться (см. примеры на рисунке к совету 34 ).

В пункте 2 с помощью функции (древовидного оператора) augment формируется не растасованная колода карт – вектор-строка с 52 элементами (картами ¾ «двойка, «тройка»… «туз»). Скобки в «дереве» формирования колоды смотрятся далеко не лишними (сравните пункты 2.1 и 2.2 – скобки «лишние» для машины, и «полезные» для человека).

В пункте 3 формируется булева функция Решение, возвращающая итоги голосования. Голоса участвующих в нем (1 – за, 0 – против) хранятся в векторе-аргументе X: решение принимается, когда «за» проголосуют более двух третей голосовавших (встроенная функция mean возвращает среднее арифметическое элементов массива). Скобки здесь также подчеркивают алгоритм работы функции и порядок выполнения операторов «>» и «:=». В первом случае функция mean вызывается в виде префиксного оператора, а во втором – в виде функции.

При вставке дополнительных скобок нужно помнить, что данный прием улучшения «читаемости» Mathcad-документа может снижать скорость его выполнения.

Совет 21. Контроль размерности переменной

21 Контроль размерности переменной.bmp

Иногда необходимо, чтобы пользователь оператором «:=» вводил не просто значение переменной в определенном диапазоне (см. совет 6 ), а значение с определенной размерностью физической величины. Ввод безразмерной величины или величины с неправильной размерностью должен вызывать аварийный останов выполнения (обсчета) Mathcad-документа. Такой сценарий реализован на рисунке: в переменную d (ее стиль User 1 – см. совет 52) пользователь должен ввести длину – константу, умноженную на какую-либо встроенную или пользовательскую (см. совет 16 ) единицу измерения длины. Контроль введенной размерности осуществляется следующим образом: к переменной d прибавляется и тут же отнимается единичный метр (m – системная переменная). Со значением новой переменной d (ее стиль уже не User 1, как у первой переменной d, а Variables) ничего не происходит, но возникает ошибка, если к длине прибавляется что-либо другое (см. верхнюю половинку рисунка). Фокус здесь в том, что мы имеем дело с парой одноименных, но разных по стилю переменных d.

В среде Mathcad 2000 для контроля размерности переменной (см. пункт 5 в главе «Mathcad 2000: что нового») введена специальная функция UnitsOf(x), возвращающая единицу (1), если переменная x безразмерная, или единицу[23] измерения, если x размерная величина. (Продолжение темы в совете 61 .)

Совет 22. Графическое решение задачи линейного программирования

22 Графическое решение задачи линейного программирования.bmp

Mathcad–документы, помещенные на рисунках в советах 15 и 17 , решают задачу линейного программирования. В среде Mathcad нет специализированных средств визуализации решения задач такого типа. Но эту проблему при определенной сноровке можно решить с помощью обычного декартового графика – см. рисунок. Суть задачи описана в совете 15 .

Для графического решения задачи линейного программирования определяются две функции: Oгр (ограничения) и ЦФ (целевая функция) с одним аргументом Chair1 (число стульев первого типа[24]). При формировании функций задействованы средства символьной математики, но скорее, не для решения (solve) неравенств (это несложно сделать и вручную[25]), а для иллюстрации сути графического решения задачи: прямая линия целевой функции скользит вверх (здесь будет очень уместна анимация Mathcad, когда системная переменная FRAME (счетчик кадров анимации) связывается со значением целевой функции). Решение будет достигнуто в момент «прощания» прямой (целевая функция) с многоугольником (область выполнения ограничений). Данное графическое решение годится и для иллюстрации целочисленной задачи (область, ограниченная ломаной линией, заменяется на множество точек), и для нелинейной задачи (отрезки прямых заменяются на отрезки кривых: выпуклых или вогнутых).

Примечание – непронумерованный совет. В пункте 2 приведены две попытки решения целевой функции относительно переменной Chair2 (стулья второго типа). В первом операторе solve (шрифт выражения там мелкий) курс евро к доллару записан как 1.2, а во втором – 12/10. Такая, на первый взгляд, эквивалентная замена меняет вид коэффициентов ответа (см. также совет 2 ).

Совет 23. Цветной декартов график (Scatter Plot) Мост

23 Цветной декартов график.bmp

Данный совет продолжает тему нестандартной графики Mathcad, начатую в совете 22 .

Mathcad имеет средства раскраски трехмерных графиков. К сожалению, этот прием форматирования нельзя применить к двумерному графику. Но… На рисунке изображен график функции одного аргумента, так что вершины... – см. комментарий справа от графика. К сожалению, данная книга не цветная, но читатель может поверить автору, что на дисплее линия на графике имеет оттенки всех цветов радуги: максимумы имеют теплые тона, а минимумы – холодные. Фокус рисунка в том, что это не декартов график, а расцвеченная поверхность, особым образом (одним «боком») повернутая к зрителю. Операторы, формирующую матрицу М, элементы которой – значения анализируемой функции (они повторяются по столбцам), стоит запрятать, захлопнув соответствующую область (см. верхнюю часть рисунка, а также совет 62 ), – тогда иллюзия цветного декартового графика будет абсолютно полной.

Непронумерованный совет. Операторы, формирующую пользовательскую функцию y(x) и пределы разброса графика (x _нач – x _кон) стоит «подтянуть» к графику. Здесь пригодится оператор «º» (глобальное присваивание), распространяющий свое действие не только вниз, что делает оператор «:=», но и вверх.

Совет 24. Графическое решение системы двух алгебраических уравнений
(Начало темы – см. пункт 1 в главе «Mathcad MM»)

24 Графическое решение системы двух алгебраических уравнений.bmp

Для решения задачи, вынесенной в название совета, строят пару декартовых графиков и смотрят, где они пересекаются. Но трудность здесь в том, что система не всегда имеет вид, готовый к построению графиков: y1(x) :=… и y2(x) := …. Как правило, система записана в общем виде: f1(x, y) = 0 и f2(x, y) = 0, а разделить переменные и свести систему к простой задаче не всегда удается:

исходная система		Преобразование системы для графического решения
x + y = 5		y1(x):= 5 – x
	®
y = x²		y2(x):= x²

На рисунке показано решение этой проблемы: двумя циклами с параметром (значение x и значение y) заполняется матрица М. Ее элементы отображают состояние уравнений на плоскости x-y: если при переборе значений x и y с шагом dx и dy одно из выражений меняет знак[26], то соответствующий элемент матрицы М становится равен единице, если нет – нулю. Мы как бы сканируем область построения графика, «высвечивая» (на «осциллографе» – на графике линий уровня, отформатированном особым образом) наши кривые (в центре лемниската («увитая лентами») Бернулли). Как долго будет длиться такое «сканирование» – это второй вопрос[27]. Константа 300 (порядок матрицы M) позволяет искать компромисс между скоростью построения графика и его качеством.

Для повышения качества графика можно порекомендовать провести двойное сканирование – сначала по «горизонтали», как это сделано на рисунке, и по «вертикали».

Методика, показанная на рисунке, годится и для построения графика одного уравнения вида f(x, y) = 0.

Совет 25. Лучевая диаграмма

25 Лучевая диаграмма.bmp

для визуализации табличных данных удобно использовать особый тип бизнес-графики – лучевую диаграмму (по-английски radar-diagram – диаграмма радара): от центра проводятся лучи, на которых делаются засечки, отстоящие от центра на расстоянии, пропорциональном элементам визуализируемого вектора; далее засечки соединяются прямыми линиями. Получается многоугольник, площадь и форма которого отражает некое явление или некий объект.

На рисунке представлены результаты визуализации через лучевую диаграмму данных, хранящихся в матрице М. Суть задачи: для оценки каких-либо десяти качеств какого-либо объекта приглашены девять экспертов, выставляющих оценки от 2 (неудовлетворительно) до 5 (отлично). На лучевой диаграмме (а это не что иное, как полярный график Mathcad) правильный многоугольник – это средний балл, выставленный экспертами, а неправильный многоугольник – средний балл, проставленный за отдельные качествам: сразу видно, где «слабые» и где «сильные» места у испытуемого.

В среде Mathcad можно построить и круговую диаграмму (по-английски pai-diagramm – «диаграмма пирога»), отображающую элементы вектора, сумма значений которых равна 100%. Но стоит ли это делать!? Ведь данные из Mathcad можно экспортировать в среду, например, Excel, где есть средства построения и круговой диаграммы, и лучевой диаграммы, и других типов графиков. Можно вставить в Mathcad–документ фрагмент Excel (или Axum – пакета, специально созданного для расширения графических возможностей Mathcad), который предназначен для отображения отмеченной нестандартной графики. Но созданный с такой графикой Mathcad – документ при переносе его на другой компьютер, где не установлены соответствующие приложения, может не работать.

Совет 26. Начни с символа, а кончи числом

26 Начни с символа, а кончи числом.bmp

В совете 24 мы пытались графическим методом решить систему двух алгебраических уравнений, – определили область существования действительных корней системы, нашли значения неизвестных для первого приближения при поиске решения численным методом (что будет сделано в совете 44 ). Но в цепочку «график» – «число» можно попытаться вклинить и «символ». Суть совета. Перед численным решением задачи стоит попытаться приложить к ней средства символьной математики Mathcad. На рисунке показано аналитическое решение нашей системы двух нелинейных алгебраических уравнений с помощью Mathcad-операторов solve и float. (Здесь используется не один оператор solve, а «спарка» solve – float, т.к. один оператор solve либо дает очень громоздкий ответ, либо никакого). Найдены все 24 корня системы, из которых четыре действительные отображены на графике в совете 24 .

На рисунке в ответе выведено только пять знаков в мантиссе (см. ключ float, 5). По умолчанию (без ключа float) выводится 20 знаков, а максимальное их количество – 250. (Одноименная команда из меню символьной математики (команда solve) может выдать до 4000 знаков в мантиссе. Но эта команда работает только с уравнениями, но не с системами уравнений.)

Корни можно вывести в виде десятичной дроби с плавающей запятой (0.043778), а не в «научном» виде (4.3778×10^-2), если выражение на рисунке охватить курсором и нажать клавишу «=». После этого «численный» ответ можно будет соответствующим образом отформатировать (см. также совет 3 ).

Совет 27. Доверяй, но проверяй

27 Доверяй, но проверяй.bmp

Этот совет, естественно, относится по всем программным средствам решения математических задач, а не только к Mathcad. Итак, получив ответ, не поленитесь проверить его. На рисунке корни системы подставляются в уравнение. Для этого матрица с корнями из Mathcad-документа, иллюстрирующего совет 26 , заносится в переменную Корни. Затем пары значений из строк матрицы Корни переносятся в переменные x и y, которые, в свою очередь, подставляются в левые части алгебраических уравнений проверяемой системы. По анализу невязки можно судить о качестве решения.

Совет 28. Три способа задания области существования трехмерного графика

28 Три способа задания области существования трехмерного графика.bmp

Построение поверхности в среде Mathcad до версии 2000 (см. пункт 2 гл. MC 2000) предваряется заполнением матрицы, элементы которой – значения анализируемой функции двух переменных в прямоугольной области. Номера столбцов матрицы при этом связываются со значениями первого аргумента, а номера строк – второго.

На рисунке в пункте 1 представлена стандартная методика заполнения данной матрицы, описанная в документации пакета Mathcad: опорными точками являются номера строк и столбцов матрицы значений анализируемой функции.

В пунктах 2 и 3 показаны альтернативные и в чем-то более удобные методики построения графиков: опорными точками являются координаты углов прямоугольной области (пункт 2) или центр квадратной области, сторона которой также задается пользователем. Если при этом оператор ввода (оператор «º») координат анализируемой функции «опустить» к графику, то работать с ними будет совсем легко.

С появлением Mathcad 2000 необходимость в обязательном заполнении матрицы перед построением трехмерного графика отпала – см. п. 2 в главе «Mathcad 2000 – что нового». Но наши три способа формирования матриц перед построением поверхности остаются в силе. Третий способ, например, удобен при анимации: меняя через переменную FRAME одну из координат центра квадрата, можно «лететь» над поверхностью; изменяя значение D, можно приближаться или удаляться от поверхности, как бы наблюдая за ней через ….«иллюминатор».

Совет 29. Плоский график в «два счета»

29 Плоский график в «два счета».bmp

Вот обычная, «трехшаговая» технология построения в среде Mathcad декартового графика (см. верхнюю часть рисунка):

• 1 шаг: задается вид анализируемой функции;

• 2 шаг: вводится переменная области (Range Variable – у нас это x), задающая разброс графика по оси ординат (x _нач и x _кон) и число точек на нем (задается не число точек, а шаг точек – расстояние между ними);

• 3 шаг: отдается команда на построение графика, который затем форматируется, если какие-либо его параметры не устраивают пользователя; для этого вызывают соответствующие диалоговые окна; размер графика изменяется через протяжку его контура (обычная «оконная» технология в среде Windows).

В среде Mathcad, начиная с версии 7, допустима быстрая (Quick Graph – см. второй график на рисунке) технология построения «плоских» графиков (декартового и полярного):

• 1 шаг: см. выше, только анализируемую функцию можно и не задавать в виде функции пользователя – достаточно записать ее у оси y;

• 2 шаг: отдается команда на построение графика; тут появляются еще два умолчания: график строится в диапазоне от -10 до 10[28] по переменному числу точек, зависящему от размера графика; первое умолчание пользователя, как правило, удовлетворяет (здесь имеет место компромисс между качеством графика и скоростью его построения). Второе умолчание пользователь вправе нарушить и задать иной диапазон разброса аргумента, меняя числа на краях оси x.

Вторая технология имеет еще одно преимущество (суть совета): переменная арг остается свободной от какого-либо числового значения, которое в дальнейшем может помешать, например, аналитическому (символьному) решению задачи. (Продолжение темы в советах 65 и 73.)

Совет 30. Комментарий в Mathcad-программе

30 Комментарий в Mathcad-программе.bmp

Этот и некоторые последующие советы (см. также советы 30 , 35 , 36 , 37 , 69.) будут проиллюстрированы несложной программой[29], формирующей функцию пользователя с именем V, которая возвращает объем правильного (прямого) конуса в зависимости от диаметра его основания (d) и длины образующей (l – эль[30]).

Язык программирования Mathcad не имеет специальных средств (операторов) комментирования программ. Считается, что те или иные операторы программы можно прокомментировать, поместив правее (или вокруг) программы текстовые вставки (см. пункт 1 на рисунке). Но из-за различия в шрифтах формул и текстовых вставок трудно бывает поставить комментарий там, где он нужен.

Неудобства такой технологии мы рассмотрели в совете 5 : при перетаскивании операторов можно что-либо «растерять по дороге».

Комментарии можно вставлять в программы в виде отдельных операторов – текстовых констант (первая строка программы в пункте 2 на рисунке). Можно поступить по-другому (см. строки 2-3): записать в программу вектор-строку с двумя элементами, первый из которых – это комментарий, а второй – оператор программы.

Комментирование матрицей, первый элемент которой – текстовая константа, имеет существенный недостаток: функция перестает работать с размерными аргументами. Это является следствием того, что массив Mathcad не может хранить «разноразмерные» величины.

Далее еще около 70 советов. Рисунки будут открыты после выхода книги в свет.

[1] Одно из определений науки: удовлетворение частного любопытства за общественный (государственный) счет.

[2] Все серьезные коммерческие программы создаются большим коллективом разработчиков, но новаторские идеи, заложенные в них, имеют конкретных авторов.

[3] Решение довольно-таки спорное. Многие пользователи не заглядывают в документацию не потому, что лень, а потому, что документации просто нет, т.к. диск с программой куплен «на горбушке» и, естественно, без документации.

[4] Один коллега автора купил там для фирмы, где он «халтурит», легальную копию офисной системы за 2500 долл., хотя на лотках ее продают за 90 рублей. При установке программы понадобилась консультация. Звонят продавцу, а он отвечает, что перепоручил послепродажную поддержку программы другой фирме. Звонят туда. А там отвечают, что у них консультации платные – 60 долл. за вопрос. За такие деньги они консультируют, естественно, всех подряд, а не только легальных пользователей.

[5] Хотя это не самый страшный «черный» бизнес: радуйтесь, что торгуют «железом» и программами, а не настоящими винчестерами и наркотиками.

[6] Говорят, что играть на фортепьяно очень просто. Достаточно нажимать нужную клавишу в нужное время. А гениальных пианистов единицы потому, что Создатель не в силах обслужить всех играющих. Проблемы же трудолюбия музыканта (программиста) мы касаться не будем, отсылая читателя к «Моцарту и Сальери» А.С.Пушкина, где эта тема разработана достаточно глубоко.

[7] Автоматические ссылки (гиперссылки) введены в электронный вариант текста книги, где они помечены цветом и подчеркиванием. Если такой фрагмент текста (см. совет NN) «окликнуть» (щелкнуть по нему мышкой), то мы перейдем в нужное место (к совету NN). В книге цвет, естественно, пропал, а подчеркивание осталось.

[8] «Оператор присваивания» – не совсем правомерный термин. «Настоящий» оператор – это особый вид представления функции, учитывающий исторически сложившееся деление математических инструментов на функции (синус, косинус и т.д.) и на операторы (сложение, возведение в степень и т.д.).

[9] Здесь режим фонового выделения операторов отключен – сравните рисунок, приведенный в данном совете, с рисунками в советах 1 и 3.

[10] Команда Evaluate\Floating Point…меню Symbolic позволяет вывести до 4 000 знаков.

[11] Здесь термин «оператор» имеет уже третье значение (первые два – см. сноску в совете 1 ): подсвеченная белым фоном часть Mathcad-документа (комментарий, выражение, оператор присваивания, оператор вывода и т.д.).

[12] Имена переменных в Mathcad-документе данного совета содержат пробелы. Как этого добиться – см. советы 14 , 18 и 19 .

[13] Чересчур объемный массив не может быть показан в виде матрицы – выводится сообщение об ошибке.

[14] На экране дисплея минус (оператор изменения знака числа) чуть-чуть короче символа оператора вычитания, хотя вводятся они через нажатие одной клавиши.

[15] Если в среде Mathcad 8 и Mathcad 2000 в качестве первого приближения дать не скаляр, а вектор, то будет выдан не один, а несколько корней системы. (см. рис. 1. ? в книге «MC 8Pro…»

[16] Как правило, любое действие в среде Mathcad можно выполнить тремя способами. Так встроенную функцию допустимо ввести через соответствующее диалоговое окно, а можно набрать ее имя через клавиатуру или скопировать из другого места.

[17] На рисунке к совету 6 мы уже использовали оператор сложения в качестве логического «или»: если введенное значение температуры меньше минус 20 или больше 40 градусов Цельсия, то это считается ошибкой ввода.

[18] Это ограничение не вполне обосновано. Понятно, почему имя переменной не может состоять только из чисел, но не ясно, почему оно не может начинаться с числа...

[19] На самом деле это условные единицы, а не доллары США (см. совет 17 ): вид валюты не влияет на решение задачи.

[20] Как работать с градусами Цельсия, которые нельзя ввести в расчет через коэффициент пересчета, – см. совет 64 .

[21] Этот «аккорд» иногда бывает трудно «взять» из-за того, что «аккорд» Shift+Ctrl в среде Windows зарезервирован за переключением клавиатуры с английского на русский шрифт и обратно. Отсюда, честно говоря, и сложности, которые мы пытались обходить, превращая комментарий в переменную (см. совет 14 ).

[22] Иерархия операторов – это, то что их отличает от функций – см. главу «Функции и операторы» в книге «Mathcad 2000 Pro»

[23] В английском языке нет такой путаницы – там эти «единицы» называются по-разному: one и unit.

[24] Здесь использовано английское (Chair1), а не русское имя переменной (I-й стул см. рисунок в совете 17) из-за того, что символьная математика Mathcad 8 Pro не может работать с такими «нестандартными» переменными.

[25] Вернее, «вголовную», если так можно выразиться. В книге часто встречается выражение «ручной расчет в среде Mathcad». Имеется в виду, что Mathcad-документ используется как простой лист бумаги.

[26]Функция max здесь работает как логическое «или» (см. совет 12). На графике ставится точка, если произведение функции вблизи данной координаты меньше нуля – функции по обе стороны точки имеют разный знак.

[27] Расчет можно ускорить, не производя каждый раз вычисления обоих значений функции, а используя одно из предыдущих.

[28] Это не всегда так. Если, например, при x<0 функция не определена, возвращает комплексные значения или имеет какие-то другие проблемы, то график строится только в правой половине оси ординат.

[29] Авторы намеренно иллюстрируют советы книги простыми задачами, считая, что нельзя одновременно давать читателю и незнакомый алгоритм, и новый программистский прием.

[30] Переменная с именем l (эль) не очень удобна в программах, так как ее можно спутать с единицей или с заглавной латинской буквой И.