Необычные математические часы
Современные обычные часы – это, как правило, круглый диск c двумя или тремя стрелками. По периметру диска расположены двенадцать арабских или римских цифр, образуя циферблат. Но нет на свете человека, которого оставили бы равнодушными необычные часы как по форме так и по содержанию. С момента изобретения часов люди не переставали менять не только их устройство (солнечные, песочные, водяные, механические, электронные и т.д.), но и их внешний вид, преследуя при этом практические и чисто декоративные цели. Если говорить о практике, то тут можно вспомнить часы с 24-х часовым циферблатом. Такие часы (хронометры) размещают на капитанском мостике кораблей, на панелях приборов самолетов, чтобы моряки и летчики не спутали день с ночью. Есть часы с двумя циферблатами, показывающими путешественнику как местное так и «родное» время. В гостиницах и офисах можно увидеть часы, состоящие из нескольких отдельных циферблатов, фиксирующих местное время в ключевых столицах мира: Tokyo, Moscow, Paris, London, New York и т.д.
Смешанные практические и декоративные функции несут так называемые цифровые часы, где время отмечается не стрелками («аналоговые» часы), а числами: 14:21:37, например. Наиболее практичными считаются часы, где время показывается стрелками, а календарная дата – числами. По стрелочным часам проще оценивать, сколько времени осталось до какого-то события.
Но основные «изыски и изощрения» в сфере необычности часов развернулись на чисто «декоративном фронте». В этом можно убедиться, если в каком-либо поисковике Интернета сделать запрос по ключу «Необычные часы». Каких только часов там не увидишь?! Вершина дизайнерского аскетизма – вращающиеся у стенки две стрелки разной длины без каких-либо цифр или других меток на циферблате, которого, кстати, у этих часов нет совсем. Другая крайность – перегруженность часов различными «художественными излишествами». Глядя на некоторые подобные часы, приходится долго ломать голову, чтобы понять, какое время они показывают. Часто в этой «головоломке» и заключена вся дизайнерская суть таких «часов», доходящая иногда до абсурда. Читаем у Даниила Хармса – мастера литературного абсурда: «На дворе стоит старуха и держит в руках стенные часы. Я прохожу мимо старухи, останавливаюсь и спрашиваю ее: "Который час?" – Посмотрите, – говорит мне старуха. Я смотрю и вижу, что на часах нет стрелок. – Тут нет стрелок, – говорю я. Старуха смотрит на циферблат и говорит мне: – Сейчас без четверти три».
Из всех часов необычной формы особо выделяются и приковывают внимание часы с неким математическим смыслом. Безусловно, математика присутствует во всех часах – стоит только вспомнить о дифференциальных уравнениях колебания маятника, балансира или кремневого кристалла, на которых основан ход современных часов. В некоторых часах корпус делают прозрачным, чтобы была видна вся их внутренняя «механико-математическая сущность». Но мы сейчас поговорим о внешней, так сказать, математике часов.
Есть часы не с цифрами 1, 2, 3…12, а с цифрами 
на циферблате. В этой
«декоративности» можно отметить и некую «практичность» – такие часы будут
уместны, например, в кабинете математики, чтобы школьники, поглядывая на часы и
подсчитывая минуты, оставшиеся до конца урока, заодно запоминали таблицу
квадратов натуральных чисел. На рис. 1 показаны часы, где вместо цифр записаны
математические формулы и выражения, по которым эти цифры можно вычислить.
Читатель по этим часам может не только узнать текущее время, но и оценить свои
знания математики – все ли формулы и обозначения чисел ему понятны!?
Рис. 1
В оформление часов иногда закладывают сложные математические алгоритмы. Одна корейская фирма выпускает часы (рис. 2) в виде решения задачи коммивояжера.
Рис. 2
Несколько слов о самой задаче. Вот что о ней в Википедии: «Задача коммивояжера (разъездного торговца) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании наивыгоднейшего маршрута, проходящего через указанные города с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешевый и т.п.) и соответствующие данные о расстояниях, стоимости и т.п.». Задача коммивояжера имеет много практических приложений. Прежде всего это оптимизация маршрутов – оптимальная логистика, как принято сейчас говорить. Читаем в романе Л.Н. Толстого «Воскресенье»: «Сообразив, куда прежде, куда после ехать, чтобы не возвращаться, Нехлюдов прежде всего направился в сенат». Классические коммивояжеры (коробейники, офени) сейчас практически перевелись, хотя на дверях многих офисов до сих пор можно увидеть табличку типа «Торговым агентам вход запрещен!» Задачу коммивояжера решает курьер, отправляющийся развозить заказы клиентов сетевого магазина, торгующего лекарствами, книгами и проч. Есть и не вполне обычные приложения задачи коммивояжера. Так, например, расшифровать геном живого организма невозможно без решения довольно сложной задачи коммивояжера.
На глобусе часов с задачей коммивояжера каждые сутки ровно в полночь световыми точками отмечаются 1440 населенных пунктов нашей планеты, выбранные случайным образом из почти двух миллионов, хранящихся в памяти часов. Внутри глобуса установлен миниатюрный планетарий, высвечивающий эти точки на поверхности глобуса. Число 1440 – это количество минут в сутках. Более крупными световыми точками на глобусе выделяются 24 узловых населенных пункта («города»). Это будут часы в сутках. Далее выбирается первый опять же случайный город, в который помещается «коммивояжер» и которому дается задание обойти все населенные пункты, руководствуясь алгоритмом ближайшего соседа – из очередного города коммивояжер идет в ближайший город, который он еще не посетил. На цифровой панели этих часов высвечиваются две цифры: номер города, из которого вышел наш коммивояжер (0, 1… 23 – часы) и номер населенного пункта, который он только что прошел (0, 1… 59 – минуты). Пройденный маршрут на глобусе высвечивается линиями, соединяющими отдельные точки. Человек, смотрящий на эти часы, может не только узнать, какое сейчас время, но и увидеть, где сейчас находится коммивояжер, и оценить, куда он пойдет в следующую минуту. На панели часов помимо текущего времени высвечивается название пройденного населенного пункта, а из динамиков звучат типичные мелодии и песни данного региона Земли. Динамики часов могут, конечно, выполнять свою основную функцию – передавать радиопередачи. Глобус часов можно также использовать по прямому назначению.
Другие подобные уже не настольные, а настенные часы с задачей коммивояжера висят на вокзале швейцарского города Люцерн. Швейцария – это страна часов и путешественников и такие часы там очень уместны. На часах (плоская плазменная панель) прорисован контур Швейцарии. Каждые сутки в полночь на этой карте опять же случайным образом высвечивается 1440 городов, деревень, отдельно стоящих отелей этой альпийской страны из ста тысяч, имеющихся в базе часов. Человек, приехавший на вокзал в города Люцерн, может не только и не сколько узнать по таким часам точное время, но будет следить за передвижением «коммивояжера», угадывать, куда он повернет в следующую минуту. Это скрасит ожидание поезда, заставит задуматься о задачи коммивояжера, об оптимизации собственного путешествия по Швейцарии, Европе, миру…
(Здесь статью можно закончить)
На рис. 3 и 4 показано упрощенное графическое отображение таких часов. В прямоугольной области случайным образом размещаются 1440 красных квадратиков, 24 из которых накрываются синими кружечками, которые нумеруются числами от 0 до 23. В полночь из нулевого города (см. левый верхний угол рис. 3 и 4) выходит «коммивояжер» и за 24 часа посещает все города. На рис. 3 показан «полдень» нашего путешественника (12:00), а на рис. 4 – минута до полуночи (23:59 – см. левый нижний угол рис. 4). Алгоритм ближайшего соседа, заложенный в описанные часы, относится к разряду «жадных» алгоритмов. Из-за этой «жадности» нашему коммивояжеру приходится петлять, перескакивать в отдаленные города (см. рис. 4), ранее опрометчиво пропущенные. Все это увеличивает общую длину маршрута.
Рис. 3.
Рис. 4.
Глядя на необычные часы, посетители вокзала г. Люцерн могут задумываться не только «о времени и пространстве», но и еще кое о чем…
Швейцария – это страна не только часов и путешественников, но и банкиров, одно из качеств которых – это профессиональная «жадность», выражающаяся, в частности, в том, что банкиры стараются дать кредит под максимальную ставку, а взять деньги у клиентов на хранение под минимальные проценты. Или раздать побольше кредитов даже тем, кто эти кредиты скорее всего не вернет. Это одна из причин финансово-экономического кризиса, прокатившегося недавно по миру и погубившего многие банки. Коммивояжер, пропуская «нужный» город и направляясь к «ближайшему», увеличивает свой маршрут. Банкир, гоняясь за сиюминутной прибылью, снижает общую прибыль банка.
Алгоритм ближайшего соседа подкупает простотой своей реализации: задачу можно решить с помощью циркуля, карандаша и линейки. Далее можно попытаться распутать некоторые петли, сократив тем самым общую длину маршрута. Но математики разработали более оптимальные алгоритмы решения задачи коммивояжера. Один из них подсказала природа. Люди заметили, что муравьи, найдя новый источник питания, сначала таскают пищу в свой муравейник случайными разбросанными маршрутами. Но постепенно разброс маршрутов сужается до одного единственного – кратчайшего. Вот как об этом написано в той же Википедии: «В реальном мире, муравьи (первоначально) ходят в случайном порядке и по нахождению продовольствия возвращаются в свою колонию, прокладывая феромонами[1] тропы. Если другие муравьи находят такие тропы, они, вероятнее всего, пойдут по ним. Вместо того, чтобы отслеживать цепочку, они укрепляют её при возвращении, если в конечном итоге находят источник питания. Со временем феромонная тропа начинает испаряться, тем самым уменьшая свою привлекательную силу. Чем больше времени требуется для прохождения пути до цели и обратно, тем сильнее испарится феромонная тропа. На коротком пути, для сравнения, прохождение будет более быстрым и как следствие, плотность феромонов остаётся высокой. Испарение феромонов так же имеет свойство избежания, стремления к локально-оптимальному решению. Если бы феромоны не испарялись, то путь, выбранный первым, был бы самым привлекательным. В этом случае, исследования пространственных решений были бы ограниченными. Таким образом, когда один муравей находит (например, короткий) путь от колонии до источника пищи, другие муравьи, скорее всего пойдут по этому пути, и положительные отзывы в конечном итоге приводят всех муравьёв к одному, кратчайшему, пути».
На рис. 5 показан путь коммивояжера, проложенный с помощью муравьиного алгоритма по 16 862 населенным пунктам Италии. Естественно, путешественник, пожелавший обойти самым коротким путем все «города и веси» какой-либо страны, далеко не всегда сможет по прямой линии перейти из одного населенного пункта в другой. Ему часто придется идти обходными путями по существующим дорогам и тропам. Недавно в Google появился сервис, позволяющий оптимизировать маршруты передвижения не только из пункта А в пункт В, указанные на карте мира, но и по круговым маршрутам (турам), используя при этом автомобиль, самолет и другие средства передвижения.
Решение задачи коммивояжера как и в случае с оформлением часов может совсем уходить от практики в сторону чистой декоративности. Есть направление в живописи под названием пуантилизм, когда художники создают свои полотна точечными мазками. На рис. 6 показан вариант знаменитой картины Леонардо да Винчи, где Мона Лиза («бедная Лиза») прорисована 100 000 точками, соединенными «тропой коммивояжера». Чисто декоративным можно также считать и путь коммивояжера через 1 904 711 населенных пунктов Земли – см. рис. 7.
Рис. 6
Рис. 7
При написании статьи использовался сайт www.tps.gatech.edu.