Предел последовательности

 

Для любого  существует такое , зависящее от , что при всех  справедливо неравенство .

 

Для  , , что при справедливо .

.

 

Задача. Доказать по определению, что .

 

Что доказать?

, при , проще говоря, .

Так ли это? Сначала посчитаем: ; .

Стремится ли к ?

Mathcad, Предел последовательности 1, Предел последовательности 2

 

Сравните графическую и числовую иллюстрации. Осторожно!

 

И всё же нужно доказать неравенство. Обратимся к графику. Последовательность возрастает и . Значит нужно найти такое , что при всех  справедливо , в нашем случае

Mathcad Предел последовательности 3

При , при , и т.д.

 

 

Теперь понятно как найти :

следует решить уравнение , в нашем случае, .

Mathcad Предел последовательности 4

 

 

Впрочем, можно сразу. Mathcad Предел последовательности 5

 

Посмотрим известные «замечательные пределы»

 

Mathcad Предел последовательности 6

 

Предел функции в точке

Для любого  (как бы мало оно ни было) существует такое число , , что для , удовлетворяющих неравенству , справедливо .

 

Другими словами, неравенство  справедливо для , удовлетворяющих неравенству .

 

Как и для последовательностей, эту задачу можно решать графически.

 

Запишем только эквивалентные неравенства:

 и

Mathcad Предел функции 1

 

 

 

Дифференцирование

Нет проблем!

 

ТР Дифференцирование, задача 5 ТР Графики Задача 2

 

Mathcad Производная 1

 

На занятиях можно разобрать, попытаться понять задачи 1 и 8 своего варианта из ТР «Пределы».

 

Студенты могут решать задачи 5–14 из ТР «Дифференцирование».