Предел последовательности
Для любого существует такое , зависящее от , что при всех справедливо
неравенство .
Для , , что при справедливо .
.
Задача. Доказать по определению, что .
Что доказать?
, при , проще говоря, .
Так ли это? Сначала посчитаем: ; .
Стремится ли к ?
Mathcad, Предел последовательности 1,
Предел последовательности 2
Сравните графическую и
числовую иллюстрации. Осторожно!
И всё же нужно доказать
неравенство. Обратимся к графику. Последовательность возрастает и . Значит нужно найти такое , что при всех справедливо , в нашем случае
Mathcad Предел последовательности 3
При , при , и т.д.
Теперь понятно как найти :
следует решить уравнение , в нашем случае, .
Mathcad Предел последовательности 4
Впрочем, можно сразу. Mathcad Предел последовательности 5
Посмотрим известные
«замечательные пределы»
Mathcad Предел последовательности 6
Предел функции в точке
Для любого (как бы мало оно ни
было) существует такое число , , что для , удовлетворяющих неравенству , справедливо .
Другими словами, неравенство справедливо для , удовлетворяющих неравенству .
Как и для
последовательностей, эту задачу можно решать графически.
Запишем только эквивалентные
неравенства:
и
Mathcad Предел функции 1
Дифференцирование
Нет проблем!
ТР Дифференцирование, задача 5
ТР Графики Задача 2
Mathcad Производная 1
На занятиях можно разобрать,
попытаться понять задачи 1 и 8 своего варианта из ТР
«Пределы».
Студенты могут решать задачи
5–14 из ТР «Дифференцирование».