Сформулировать математическую модель предложенной задачи оптимизации (целевая функция, система ограничений).

Найти оптимальное значение целевой функции.

 

Задача 1. Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два сплава тех же металлов, отличающиеся составом и стоимостью. Данные об этих сплавах приведены в таблице.

 

Компоненты	Содержание компонентов, %
сплава	Сплав №1	Сплав №2
Медь	10	10
Олово	10	30
Цинк	80	60
Стоимость  1 кг	40 руб.	60 руб.

 

Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может составлять от 7,2 до 12, 8 кг.

Обеспечить количества X_j , j=1,2 сплавов каждого вида, обеспечивающие получение нового сплава с минимальными затратами на сырье.

 

Задача 2. Для изготовления двух видов изделий А₁ и А₂ завод использует в качестве сырья алюминий и медь. На изготовлении изделий заняты токарные и фрезерные станки. Исходные данные задачи приведены в таблице.

 

Вид	Объем	Нормы расхода на 1 изделие
ресурсов	ресурсов	Изделие А1	Изделие А2
Алюминий ,кг	570	10	70
Медь, кг	420	20	50
Токарные станки, станко-час	5600	300	400
Фрезерные станки, станко-час	3400	200	100
Прибыль на 1 изделие, тыс.руб.		30	80

 

Определить количества X_j ,j=1,2  изделий А_j , которые необходимо изготовить для достижения максимальной прибыли.

 

 

 

Задача 3. Из одного города в другой ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице указано количество вагонов в поездах различного типа и максимальное число пассажиров, на которое рассчитан вагон.

 

 

Поезда	Вагоны
	Багажный	Почтовый	Плацкартный	Купейный	Мягкий
Скорый	1	1	5	6	3
Пассажирский	1	—	8	4	1
Парк вагонов	12	8	81	70	26
Число пассажиров	—	—	58	40	32

 

Определить число скорых Х₁ и пассажирских Х₂ поездов, которые необходимо формировать ежедневно из имеющегося парка вагонов, чтобы число перевозимых пассажиров было максимальным.

 

Задача 4. В начале рабочего дня автобусного парка на линию выходит Х₁ автобусов, через час к ним добавляется Х₂ автобусов, еще через час – дополнительно Х₃ машин.

Каждый автобус работает на маршруте непрерывно в течение 8 часов. Минимально необходимое число машин на линии в i-й час рабочего дня (i =1,2,...,10) равно b_i . Превышение этого числа приводит к дополнительным издержкам в течение i-го часа в размере с_i рублей на каждый дополнительный автобус.

Определить количества машин Х₁ , Х₂ , Х₃ , выходящих на маршрут в первые часы рабочего дня, с таким расчетом, чтобы дополнительные издержки в течение всего рабочего дня были минимальными. Исходные данные приведены в таблице.

 

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
bi	10	20	22	23	25	22	20	15	10	5
ci	5	5	6	6	6	6	10	15	15	20

 

Задача 5. На товарных станциях С₁ и С₂ имеется по 30 комплектов мебели. Известно, что перевозка одного комплекта со станции С₁ в магазины М₁ , М₂ , М₃ стоит соответственно 10 руб., 30 руб., 50 руб., а стоимость перевозки со станции С₂ в те же магазины - 20 руб., 50 руб., 40 руб. Необходимо доставить в каждый магазин по 20 комплектов мебели.

Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими.

 

Откуда	Куда			Всего отправлено
	В М1	В М2	В М3
Из С1	Х11	Х12	Х13	30
Из С2	Х21	Х22	Х23	30
Всего получено	20	20	20	60

 

Задача 6. Предприятие, располагающее ресурсами сырья трех видов B_i , i=1,2,3,  может производить продукцию четырех видов A_j , j=1,2,3,4. В таблице указаны затраты ресурсов B_i на изготовление 1 т продукции A_j , объем ресурсов и прибыль, получаемая от изготовления 1 т продукции A_j .

 

Вид сырья	Вид продукции
	А1	А2	А3	А4	Объем ресурсов, т
В1	4	5	2	3	60
В2	30	14	18	22	400
В3	16	14	8	10	128
Прибыль, руб.	480	250	560	300	-

 

Определить ассортимент выпускаемой продукции, при котором полученная прибыль будет максимальной, при условии:

а) продукции А₂ необходимо выпустить не менее 8 т, продукции А₄ - не более 5 т, а продукции А₁ и А₃ - в отношении 2:1;

б) производственные издержки на 1 т продукции А_j , j=1...4, составляют соответственно 30, 90,120 и 60 руб., а суммарные издержки не должны превышать 960 руб.

 

Задача 7. Пусть вашей фирме необходимо заключить контракт на поставку товаров на некоторую сумму, меньшую или равную Р условных единиц. При этом имеется выбор из N партнеров, которые могут поставить товар на K_i условных единиц каждый. Ожидаемая прибыль от сделки с i-м партнером составляет C_i процентов от суммы заключенной сделки, но при этом риск от сделки с i-м партнером составляет H_i процентов от суммы сделки. Требуется определить наиболее выгодных партнеров и сумму сделки с каждым из них, обеспечив при этом максимальное значение прибыли при значении суммарного риска от сделок, не превышающего суммы прибыли.

Исходные данные приведены в таблице.

 

Параметры контракта	Фирмы
	СтикС	КомплекТ	Тэтрон	ЭлекТ	Играм
Максимальная сумма контракта с фирмой Ki , у.е.	30000	20000	12000	15000	10000
Ожидаемая прибыль Ci, %	10	11	11,8	10	12
Возможные убытки Hi , %	8	8,5	8,85	8,2	9
Максимальная сумма контракта равна 50000 у.е.

 

Задача 8. Ваше предприятие выпускает телевизоры, музыкальные центры и акустические системы, используя общий склад комплектующих.  В связи с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий. Цель – получение максимальной прибыли.

Для обеспечения договоров с заказчиками необходимо выпускать не менее 100 единиц каждого наименования. Следует учитывать уменьшение удельной прибыли при увеличении объемов производства (в связи с дополнительными затратами на сбыт) по степенному закону (коэффициент отдачи к=0,9). Данные для расчета приведены в таблице.

 

Склад		Наименование	Телевизор	М. центр		Ак . сист.
		Количество	Х1	Х2		Х3
		Цена изделия	5000	4500		1500
Комплектующие	Кол-во	Использовано	Требуется деталей
Шасси	450	У1	1		1		0
Кинескоп	250	У2	1		0		0
Динамик	800	У3	2		2		1
Блок питания	450	У4	1		1		0
Электрическая плата	600	У5	2		1		1

 

 

Задача 9. Для работников с пятидневной рабочей неделей и двумя выходными подряд требуется составить график работы, обеспечивающий требуемый уровень обслуживания при наименьших затратах на оплату труда. Дневная оплата каждого работника – 40 руб.

 

Дни недели	Вс	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб
Требуется работников	22	17	13	14	15	18	24

 

Указание.  Разбить  всех  работников  на 7 групп и обозначить  Х₁ - количество работников, отдыхающих в воскресенье-понедельник, Х₂ - количество работников, отдыхающих в понедельник-вторник, и т.д.

 

Задача 10. Требуется минимизировать затраты на перевозку товаров от предприятий-производителей на торговые склады. При этом необходимо учесть возможности поставок каждого из производителей при максимальном удовлетворении запросов потребителей. Данные для расчета приведены в таблице.

Сколько необходимо сделать рейсов, если за один рейс можно перевезти 20 т груза.

 

Заводы	Произв. мощности, т	Затраты на перевозку от завода к складу, у.е./т
		Томск	Новосибирск	Омск	Тюмень
1 2 3	320 260 280	20 10 22	20 8 18	16 6 18	18 5 20
Потребности складов, т		100	200	140	300

 

Задача 11. Маркетологи фирмы установили, что между расходами на рекламу R (руб.) и числом продаж N (шт.) существует связь, выражаемая формулой

                        ,

где  коэффициент d - сезонная поправка.

Определить бюджет на рекламу в каждом квартале, соответствующий наибольшей прибыли за год, при фиксированных затратах на торговый персонал.  Оценить поквартально норму прибыли (отношение производственной прибыли к выручке от реализации). Годовые затраты на рекламу не должны превышать 40000 руб.  Цена  одного  изделия  -  40 руб.,  затраты  на  сбыт  одного  изделия - 25 руб.

 

Статьи	Квартал				За год
	1	2	3	4
1. Сезонная поправка, d	0,9	1,1	0,8	1,2	—
2. Число продаж, N	?	?	?	?	?
3. Выручка от реализации	?	?	?	?	?
4. Затраты на сбыт	?	?	?	?	?
5. Валовая прибыль	?	?	?	?	?
6. Затраты на торговый персонал	8 000	8 000	9 000	9 000	34 000
7. Затраты на рекламу	R1	R2	R3	R4	R
8. Косвенные затраты (15% от ст. 3)	?	?	?	?	?
9. Суммарные затраты	?	?	?	?	?
10. Производств. прибыль       (ст.5-ст.9)	?	?	?	?	?
11. Норма прибыли, %	?	?	?	?	?

 

Задача 12. Фабрика выпускает кожаные брюки, куртки и пальто специального назначения в ассортименте, заданном отношением 2:1:3.  В процессе изготовления изделия проходят три производственных участка - дубильный, раскройный и пошивочный.

Данные для расчета приведены в таблице.

 

Показатели	Брюки	Куртки	Пальто
Норма времени на участках, чел.×ч
дубильном	0,3	0,4	0,6
раскройном	0,4	0,4	0,7
пошивочном	0,5	0,4	0,8
Полная себестоимость, руб.	15	40,5	97,8
Оптовая цена предприятия, руб.	17,5	42	100

 

Ограничения на фонд времени для участков составляют, соответственно, 3360, 2688, 5040 чел.×ч.  Учитывая заданный ассортимент, максимизировать прибыль от реализованной продукции.

 

Задача 13. На заводе ежемесячно скапливается около 14 т отходов металла, из которого можно штамповать большие и малые шайбы. Месячная потребность завода в больших шайбах 600 тыс. шт., в малых - 1100 тыс. шт. Расход металла на тысячу больших шайб - 22 кг, на тысячу малых - 8 кг. Для изготовления шайб используются два пресса холодной штамповки. Производительность каждого за смену 9 тыс. шт. больших шайб либо 11,5 тыс. шт. малых. Завод работает в две смены.

Недостающее количество шайб закупается. Оптовая цена больших шайб 11,9 руб. (за тысячу штук), а малых - 5,2 руб. Определить месячный план производства шайб, обеспечивающий максимальную долю в валовой продукции предприятия.

 

Задача 14. Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизор.

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (или по всем) показателям, построить модели, на основе которых можно сформулировать следующие экстремальные задачи:

1) задачу максимизации объема реализации (за плановый период);

2) задачу максимизации прибыли (за тот же период).

Данные для расчета приведены в таблице. Определить недостающие данные и задать их самостоятельно.

 

Показатели	Трельяжи	Трюмо	Тумбочки
Норма расхода материала, м3
ДСП	0,032	0,031	0,038
Доски: сосновые	0,02	0,02	0,008
березовые	0,005	0,005	0,006
Трудоемкость, чел. ч	10,2	7,5	5,8
Плановая себестоимость, руб.	88,81	63,98	29,6
Оптовая цена , руб.	93	67	30
Плановый ассортимент, шт.	350	290	1200

 

Задача 15. Предприятие выпускает обычный, специальный и декоративный сплавы латуни и реализует их, соответственно, по 3; 4,5 и 6 руб. за единицу веса. Его производственные мощности позволяют производить (за плановый период) не более 500 ед. веса обычного сплава, 700 ед. - специального и 250 ед. - декоративного. Обязательными составляющими сплавов являются медь, цинк, свинец и никель. Их цена соответственно 0,9; 0,7; 0,5 и 1,1 руб. за единицу веса.

По технологии декоративный сплав должен содержать не менее 7% никеля, 49% меди и не более 29% свинца; специальный  - не менее 3% никеля, 71% меди, 9% цинка и не более 21% свинца. В обычный сплав составляющие входят без ограничений.

Считая, что себестоимость сплавов складывается только из стоимости его ингредиентов, составить план выпуска сплавов, обеспечивающий максимальную прибыль.

 

Задача 16. Рацион стада крупного рогатого скота из 220 голов включает пищевые продукты A, B, C, D и E. В сутки одно животное должно съедать не менее 2 кг продукта вида А, 1,5 кг продукта В, 0,9 кг продукта С, 3 кг продукта D и 1,8 кг продукта Е. Однако в чистом  виде  указанные продукты  не производятся.  Они содержатся в концентратах К-1, К-2, К-3.  Их  цена и содержание  продуктов  (в процентах)  приведены в таблице.

 

Концентраты	Продукты, %					Цена, руб.
	A	B	C	D	E
K-1	15	22	0	0	4	5
K-2	19	17	0	14	7	4
K-3	5	12	25	5	8	9

 

Минимизировать затраты на покупку концентратов при рациональном кормлении скота.

 

 

Задача 17. Нефтеперерабатывающий завод получает за плановый период четыре полуфабриката – 600 тыс. л алкилата, 316 тыс. л крекинг-бензина, 460 тыс. л бензина прямой перегонки и 200 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях 2:3:1:5, 2:4:3:4:, 5:1:6:2 и 7:1:3:2 получают бензин четырех сортов Б-1, Б-2, Б-3, Б-4. Цена его реализации, соответственно, 2руб.; 2 руб.10 коп.; 2 руб.60 коп.; 2 руб.30 коп. за литр.

1. Спланировать ассортимент выпускаемой продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

2. Решить задачу, введя ограничение снизу на ассортимент продукции.

 

 

Задача 18. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цена 1 кг каждого из этих продуктов приведены в таблицах.

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов, г
	Мясо	Рыба	Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель
Белки Жиры Углеводы Минеральные соли	180 20 -   9	190 3 -   10	30 40 50   7	10 865 6   12	260 310 20   60	130 30 650   20	21 2 200   10

 

Цена за 1 кг продуктов, руб.
Мясо	Рыба	Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель
31,8	21	4,28	58,3	67,5	8,1	2,5

 

Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы питательных веществ, необходимых человеку, так, чтобы общая стоимость продуктов была минимальной.

 

Задача 19. Четверо рабочих могут выполнять четыре вида работ. Стоимости С_ij  выполнения i-м рабочим j-й работы приведены в таблице.

 

Рабочие (i)	Стоимость отдельных видов работ (j), у.е.
	1	2	3	4
1. Иванов 2. Петров 3. Сидоров 4. Кузнецов	1 9 4 8	4 10 5 7	6 7 11 8	3 9 7 5

 

Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной.

 

Задача 20.  Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и Б. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляет 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и Б на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

 

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т		Максимально возможный запас, т
	В	Н
А Б	2 1	1 2	6 8

 

Маркетинговые исследования установили, что суточный спрос на краску В никогда не превышает спроса на краску Н более, чем на 1 т. Кроме того, спрос на краску В никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 20000 руб. для краски В и 30000 руб. для краски Н.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

 

Задача 21. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 долл., соответственно.

Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

 

Задача 22. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местное радио и телевидение. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены суммой $ 1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $ 5, а каждая минута телерекламы – в $ 100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше объема сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы.

Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

 

Задача 23. Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы расположены в Томске, Новосибирске, Ачинске и Саяногорске с производственными возможностями, соответственно, 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Томске, Красноярске, Абакане, Барнауле и Стрежевом с потребностями, соответственно, в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц продукции ежедневно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $ 0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем  в  центр распределения,  но там не находящейся,  равен $ 2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в таблице.

 

Центры производства	Транспортные расходы, $
	Томск	Красноярск	Абакан	Барнаул	Стрежевой
Томск Новосибирск Ачинск Саяногорск	0,5 0,9 1,2 2,5	1,5 1,7 1,1 1,2	2 2,5 1,5 0,7	2 1,1 2,3 2,7	1,5 1,5 2,0 2,8

 

Необходимо спланировать перевозки, обеспечив минимум транспортных расходов: а) при сбалансированной модели; б) при несбалансированной модели (перепроизводство или дефицит).

 

Задача 24. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до восьминедельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Будем считать, что в среднем недельный рацион одного цыпленка составляет 500 граммов.

Для того, чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничимся рассмотрением только трех ингредиентов: известняка, зерна и соевых бобов. В таблице приведены данные, характеризующие содержание питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

 

Ингредиент	Содержание питательных веществ, %			Стоимость, $/кг
	Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк Зерно Соевые бобы	38 0,1 0,2	- 9 5	- 2 8	0,08 0,30 0,80

 

Смесь должна содержать не менее 0,8% и не более 1,2% кальция, не менее 22% белка и не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

 

Задача 25. Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков приведено в таблице.

 

Станок	Время обработки одного изделия, ч
	Тип 1	Тип 2	Тип 3	Тип 4
1 2	2 3	3 2	4 1	2 2

 

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет 10 и 15 долл. для станков 1 и 2, соответственно. Допустимое время использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1, 2, 3 и 4 равны 65, 70, 55 и 45 долл., соответственно.

Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

 

Задача 26. Фирма производит два вида продукции – А и В. Объем сбыта продукции А составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции А составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны 20 и 40 долл., соответственно.

Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

 

Задача 27. Завод получает 4 вида полуфабрикатов В_i в количествах: В₁ – 400 т, В₂ – 250 т, В₃ – 350 т и В₄ – 100 т. В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции А_j. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А₁ – 2:3:5:2, для А₂ – 3:1:2:1, для А₃ – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции А_j составляет: А₁ – 1200 руб., А₂ – 1000 руб., А₃ – 1500 руб.

Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:

1) максимальной стоимости выпущенной продукции;

2) максимального использования полуфабрикатов.

 

Задача 28. В цехе размещены 100 станков 1-го типа и 200 станков 2-го типа, на каждом из которых можно производить детали А₁ и А₂ . Производительность станков в сутки, стоимость 1 детали каждого вида и минимальный суточный план их выпуска представлены в таблице.

 

 

Найти количества станков i-го типа, которые необходимо выделить для производства деталей А_J, с таким расчетом, чтобы стоимость продукции, производимой в сутки, была максимальной.

 

Задача 29.  На заготовительный участок поступили стальные прутья длиной 111 см. Необходимо разрезать их на заготовки по 19, 23 и 30 см. Этих заготовок требуется, соответственно, 311, 215 и 190 шт. Построить экстремальную задачу выбора варианта выполнения этой работы, при котором число разрезаемых прутьев минимально.

 

Задача 30. На заготовительный участок поступило 69 металлических прутьев длиной 107 см. Их необходимо разрезать на заготовки по 13, 15 и 31 см в комплектности, задаваемой отношением 1:4:2. Построить модель, на основе которой можно сформулировать экстремальную задачу максимизации комплектов заготовок.