Приложение 1 к этюду 1 книги "Теплотехнические этюды с Excel, Mathcad и Интернет"

Вы будете смеяться, но автор получил еще одно сообщение из Индии (см. начало этюда 1). Но не через форум пакета Mathcad, а в виде электронного письма – см. рис. П1.

Рис. П1.

Еще один «далекий индийский незнакомец» просил помочь в использовании формулы для расчета плотности водяного пара в зависимости от давления и температуры. Ответ в том плане, что в пакете WaterSteamPro есть соответствующая функция с именем wspDPT, индийского корреспондента не удовлетворил, т.к. он хотел не подключения к программе дополнительного модуля, а простой формулы для этого расчета.

Такие «простые функции» нужны, например, в задаче определения расхода пара в трубопроводах (паропроводах): с помощью различных устройств (диафрагмы, трубы Вентури и проч.) измеряют скорость и объемный расход водяного пара. Для определения массового расхода нужно знать плотность водяного пара. Такую задачу для воды мы решали в этюде 5 (см. рис. 5.4 – 5.7 и рис. 5.14 – 5.16). Т.к. эти измерительные приборы (расходомеры) работают в узком диапазоне давления и температуры водяного пара, то не имеет смысла «запихивать» в их микропроцессоры всю формуляцию IAPWS-IF97 – достаточно запрограммировать несложную формулу, дающую приемлемый ответ.

«Далекий индийский незнакомец», как выяснилось при дальнейшей переписке, нашел в Интернете простую формулу для расчета плотности воды и пытался применить ее для р = 13.73 МРа и t = 537°С (типичные параметры пара, поступающего в паровую турбину, работающего в паре с барабанным котлом).

«Индийский незнакомец» по просьбе автора прислал таблицу MS Excel (рис. П2), по которой была «найдена» недостающая скобка формулы.

Рис. П2

На рис. П3 показан анализ этой формулы в среде Mathcad 15 с «облачной» ссылкой на файл H2O.xmcdz: “индийская» формула дает существенную ошибку в рассматриваемом диапазоне давления и температуры.

Рис. П3

А можно ли подправить эту формулу – подобрать для нее новые коэффициенты так, чтобы она давала приемлемый результат в заданном диапазоне давлений и температуры водяного пара? На рисунках П4 – П7 показано, как это можно сделать.

На рисунке П4 показано, как в среде Mathcad 15 с подключенным пакетом WaterSteamPro заполняется матрица значений плотности водяного пара в точках давления и температуры, отмеченных вертикальной сеткой на графиках, показанных на рис. П3 (12, 13…16 МПа и 500, 520…600 °С). Это сделать несложно, работая функцией wspDPT.

Рис. П4

Далее создается функция с именем ΔD и с четырьмя аргументами а, b, c и d, входящими в упрощенную формулу расчета плотности водяного пара. В функцию ΔD заложен метод наименьших квадратов (МНК). Нужно будет найти значения аргументов а, b, c и d, при которых функция ΔD будет иметь минимальное значение. Это делает функция Maximize, опираясь на начальное предположение для аргументов а, b, c и d

Рис. П5

Качество новой формулы проверяется через матрицу отклонений (погрешностей) значений по формуляции IAPWS-IF97 и значений, посчитанных по новой упрощенной формуле – см. рис. П6.

Рис. П6

На рисунке П7 показано построение поверхности: плотности водяного пара в зависимости от давления (MPa) и температуры (°С)

Рис. П7

На рис. П8 показана сплайн-интерполяция в среде Mathcad Prime табличных данных по плотности водяного пара

Рис. П8.

На рис. П9 показан регрессионный анализ в среде Mathcad 15 табличных данных по плотности водяного пара (сама программа здесь)