Приложение 3

Встроенные функции Mathcad 8 Pro

3.1. Встроенные функции Mathcad по группам:

1. Восемнадцать функций Бесселя (Bessel):

2. Пять функций работы с комплексными числами (Complex Numbers):

3. Тринадцать функций решения дифференциальных уравнений и систем (задача Коши, краевая задача, уравнения в частных производных – Differential Equation Solving):

4. Три функции типа выражения (Expression Type):

5. Двадцать пять функций работы с файлами (File Access):

6. Шестьдесят четыре функции обработки сигналов (Signal Processing):

7. Девяносто пять функций обработки образов (Image Processing):

8. Восемь функций преобразований Фурье (Fourier Transform):

9. Двенадцать гиперболических функций (Hyperbolic):

10. Девяносто пять функций обработки образов (Image Processing):

11. Одиннадцать функций интерполяции и экстраполяции (Interpolation and Prediction):

12. Три логарифмические и экспоненциальные функции (Log and Exponential):

33. Пять функций теории чисел и комбинаторики (Numbers Theory/Combinatorics):

14. Пять функций ступенек и условий (Piecewise Continuous):

15. Шестнадцать функций плотности вероятности (Probably Density):

16. Тридцать шесть функций распределения вероятности (Probably Distribution):

17. Восемнадцать функций случайных чисел (Random Numbers):

18. Десять функций регрессии и сглаживания (Regression and Smoothing):

19. Семь функций решения алгебраических уравнений и систем, а также оптимизации (Solving):

20. Четыре функции сортировки массивов (Sorting):

21. Двенадцать специальных функций (Special):

22. Шестьдесят две статистические функции (Statistics):

23. Восемь текстовых функций (String):

24. Четыре функции округления и работы с частью числа (Truncation and Round-Off):

25. Функции, определенные пользователем (User function):

26. Тридцать четыре функции работы с векторами и матрицами (Vector and Matrix):

27. Две функции волнового преобразования (Wavelet Transform):

3.2. Встроенные функции Mathcad по алфавиту:

3.3. Функции численных методов (Numerical Recipes):

Обозначения:

x и y – вещественные числа;

S – цепочка символов (текст);

z – вещественное либо комплексное число;

m, n, i, j и k – целые числа;

v, u и все имена, начинающиеся с v, – векторы;

A и B – матрицы либо векторы;

M и N – квадратные матрицы;

F – вектор-функция;

file – либо имя файла, либо файловая переменная, присоединенная к имени файла.

Все углы измеряются в радианах. Многозначные функции (арксинус, например) и функции с комплексным аргументом всегда возвращают главное значение.

Имена приведенных функций нечувствительны к шрифту, но чувствительны к регистру – их следует печатать в точности так, как они приведены. Рекомендуется не набирать имена функций через клавиатуру, а пользоваться кнопкой (командой) Insert Function... (Вставить функцию...) из меню Insert. Это позволит работать с Мастером функций – см. рис. 1.28 в этюде 1. После имени функции следует читать «возвращает[1]» и далее по тексту.

Автор должен признаться читателю, что он не совсем уверен в абсолбютной правильности перевода сути некоторых функций, особенно тех, с какими автор не работал. Была даже идея оставить тут английский текст. Она осуществлена наполовину – список встроенных функций электронного учебника Numerical Recieptes (см. ниже) не переведен. В конце описания некоторых функций указаны номера рисунков, где они задействованы.

3.1. Встроенные функции Mathcad по группам[2]:

1. Восемнадцать функций Бесселя (Bessel):

Ai(x), bei(n, x), ber(n, x), Bi(x), I0(x), I1(x), In(m, x), J0(x), J1(x), Jn(m, x), js(n, x), K0(x), K1(x), Kn(m, x), Y0(x), Y1(x), Yn(m, x) и ys(n, x).

2. Пять функций работы с комплексными числами (Complex Numbers):

arg(z), csgn(z), Im(z), Re(z) и signum(z).

3. Тринадцать функций решения дифференциальных уравнений и систем (задача Коши, краевая задача, уравнения в частных производных – Differential Equation Solving):

Bulstoer(y, x1, x2, npts, D), bulstoer(y, x1, x2, acc, D, kmax, save), bvalfit(v1, v2, x1, x2, xf, D, load1, load2, score), multigrid(M, ncycle), relax(A, B, C, D, E, F, U, rjac), Rkadapt(y, x1, x2, npts, D), rkadapt(y, x1, x2, acc, D, kmax, save), rkfixed(y, x1, x2, npts, D), sbval(v, x1, x2, D, load, score), Stiffb(y, x1, x2, npts, D, J), stiffb(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save), Stiffr(y, x1, x2, npts, D, J) и stiffr(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save).

4. Три функции типа выражения (Expression Type):

IsArray(x), IsScalar(x) и IsString(x).

5. Двадцать пять функций работы с файлами (File Access):

APPENDPRN(file), LoadColormap(file), READ(file), READ_BLUE(file), READBMP(file), READ_GREEN(file), READ_HLS(file), READ_HLS_HUE(file), READ_HLS_LIGHT(file), READ_HLS_SAT(file), READ_HSV(file), READ_HSV_HUE(file), READ_HSV_SAT(file), READ_HSV_VALUE(file), READ_IMAGE(file), READPRN(file), READ_RED(file), READRGB(file), READRGB(file), SaveColormap(file, M), WRITE(file), WRITE_HLS(file), WRITE_HSV(file), WRITEBMP(file), WRITEPRN(file) и WRITERGB(file).

6. Шестьдесят четыре функции обработки сигналов (Signal Processing):

(см. документацию и help пакета и одноименного электронного учебника).

7. Девяносто пять функций обработки образов (Image Processing):

(см. документацию и help пакета).

8. Восемь функций преобразований Фурье (Fourier Transform):

CFFT(A), cfft(A), FFT(v), fft(v), ICFFT(A), icfft(A), IFFT(v) и ifft(v).

9. Двенадцать гиперболических функций (Hyperbolic):

sinh(z), cosh(z), tanh(z), csch(z), sech(z), coth(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z), acoth(z), asech(z) и acsch(z).

10. Девяносто пять функций обработки образов (Image Processing):

(см. документацию и help пакета).

11. Одиннадцать функций интерполяции и экстраполяции (Interpolation and Prediction):

linterp(vx, vy, x), cspline(vx, vy), pspline(vx, vy), lspline(vx, vy), interp(vs, vx, vy, x), cspline(Mxy, Mz), pspline(Mxy, Mz), lspline(Mxy, Mz), interp(vs, Mxy, Mz, v) и predict(v, m, n) и bspline(vx, vy, u, n).

12. Три логарифмические и экспоненциальные функции (Log and Exponential):

exp(z) (или e^z), ln(z) и log(z, b).

33. Пять функций теории чисел и комбинаторики (Numbers Theory/Combinatorics):

combin(n, k), gcd(A), lcm(A), mod(n, k) и premut(n, k).

14. Пять функций ступенек и условий (Piecewise Continuous):

ε(i, j, k), F(x), if(cond, x, y), δ(x, y) и sign(x).

15. Шестнадцать функций плотности вероятности (Probably Density):

dbeta(x, s1, s2), dbinom(k, n, p), dchisq(x, d), dexp(x, r), dF(x, d1, d2), dgamma(x, s), dgeom(k, p), dhypergeom(m, a, b, n), dlnorm(x, mu, sigma), dlogis(x, l, s), dnbinom(k, n, p), dnorm(x, mu, sigma), dpois(k, l) dt(x, d), dunif(x, a, b) и dweibull(x, s).

16. Тридцать шесть функций распределения вероятности (Probably Distribution):

cnorm(x), pbeta(x, s1, s2), pbinom(k, n, p), pcauchy(x, l, s), pchisq(x, d), pexp(x, r), pF(x, d1, d2), pgamma(x, s), pgeom(k, p), phypergeom(m, a, b, n), plnorm(x, mu, sigma), plogis(x, l, s), pnbinom(k, n, p), pnorm(x, mu, sigma), ppois(k, l), pt(x, d), punif(x, a, b), pweibull(x, s), qbeta(p, s1, s2), qbinom(p, n, q), qcauchy(p, l, s), qchisq(p, d), qexp(p, r), qF(p, d1, d2), qgamma(p, s), qgeom(p, q), qhypergeom(p, n, M, N), qlnorm(p, mu, sigma), qlogis(p, l, s), qnbinom(p, n, r), qnorm(p, mu, sigma), qpois(p, l), qt(p, d) и qunif(p, a, b).

17. Восемнадцать функций случайных чисел (Random Numbers):

rbeta(m, s1, s2), rbinom(m, n, p), rcauchy(m, l, s), rchisq(m, d), rexp(m, r), rF(m, d1, d2), rgamma(m, s), rgeom(m, p), rhypergeom(m, a, b, n), rlnorm(m, mu, sigma), rlogis(m, l, s), rnbinom(m, n, p), rnd(x), rnorm(m, mu, sigma), rpois(m, l), rt(m, d), runif(m, a, b) и rweibull(m, s).

18. Десять функций регрессии и сглаживания (Regression and Smoothing):

genfit(vx, vy, vg, F), intercept(vx, vy), ksmooth(vx, vy, b), linfit(vx, vy, F), loess(Mx, My, span), medsmooth(vy, n), regress(Mx, vy, n), slope(vx, vy), stderr(vx, vy) и supsmooth(vx, vy).

19. Семь функций решения алгебраических уравнений и систем, а также оптимизации (Solving):

Find(var1, var2,...), lsolve(M, v), Maximize(f, var1, var2,...), MinErr(var1, var2,...), Minimize(f, var1, var2,...), polyroots(v) и root(f(var), var).

20. Четыре функции сортировки массивов (Sorting):

csort(A, j), reverse(A), reverse(v), rsort(A, j) и sort(v).

21. Двенадцать специальных функций (Special):

erf(z), erfc(x), fhyper(a, b, c, x), Gamma(a, z), Her(n, x), ibeta(a, x, y), Jac(n, a, b, x), Lag(n, x), Leg(n, x), mhyper(a, b, x), Tcheb(n, x) и Ucheb(n, x).

22. Шестьдесят две статистические функции (Statistics):

mean(A), median(A), var(A), Var(A), cvar(A,B), stdev(A), Stdev(A), corr(A, B), dbeta(x, s1, s2), dbinom(k, n, p), dcauchy(x, l, s), dchisq(x, d), dexp(x, r), dF(x, d1, d2), dgamma(x, s), dgeom(k, p), dhypergeom(m, a, b, n), dlnorm(x, m, s), dlogis(x, l, s), dnbinom(k, n, p), dnorm(x, m, s), dpois(k, l), dt(x, d), dunif(x, a, b), dweibull(x, s), cnorm(x), fhyper(a, b, c, x), mhyper(a, b, x), pbeta(x, s1, s2), pbinom(k, n, p), pcauchy(x, l, s), pchisq(x, d), pexp(x, r), pF(x, d1, d2), pgamma(x, s), pgeom(k, p), phypergeom(m, a, b, n), plnorm(x, m, s), plogis(x, l, s), pnbinom(k, n, p), pnorm(x, m, s), ppois(k, l), pt(x, d), punif(x, a, b), pweibull(x, s), qbeta(x, s1, s2), qbinom(p, n, q), qcauchy(p, l, s), qchisq(p, d), qexp(p, r), qF(p, d1, d2), qgamma(p, s), qgeom(p, q), qhypergeom(p, a, b, n), qlnorm(p, m, s), qlogis(p, l, s), qnbinom(p, n, q), qnorm(p, m, s), qpois(p, l), qt(p, d), qunif(p, a, b) и qweibull(p, s).

23. Восемь текстовых функций (String):

concat(S1, S2, S3,...), strlen(S), search(S, SubS, m), substr(S, m, n), str2num(S), num2str(z), str2vec(S) и vec2str(v).

24. Четыре функции округления и работы с частью числа (Truncation and Round-Off):

ceil(x), floor(x), round(x, n) и trunc(x).

25. Функции, определенные пользователем (User function):

kronecker(m, n) и Psi(z).

26. Тридцать четыре функции работы с векторами и матрицами (Vector and Matrix):

augment(A, B), cholesky(M), cols(A), cond1(M), cond2(M), conde(M), condi(M), diag(v), eigenvals(M), eigenvec(M, z), eigenvecs(M), geninv(A), genvals(M, N), genvecs(M, N), identity(n), last(v), lenght(v), lu(M), matrix(m, n, f), max(A), min(A), norm1(M), norm2(M), norme(M), normi(M), qr(A), rank(A), rows(A), rref(A), stack(A, B), submatrix(A, ir, jr, ic, jc), svd(A), svds(A) и tr(M).

27. Две функции волнового преобразования (Wavelet Transform):

iwave(v) и wave(v).

3.2. Встроенные функции Mathcad по алфавиту:

1. acos(z) – арккосинус z.

2. acosh(z) – гиперболический арккосинус – обратная функция к гиперболическому косинусу.

3. acot(z) – арккотангенс z (в радианах). Результат – между 0 и p, если z вещественное. Результат – действительная часть, если z – комплексное число.

4. acoth(z) – обратный гиперболический котангенс z. Результат – действительная часть для комплексного числа z.

5. acsc(z) – арккосеканс z (в радианах). Результат – действительная часть для комплексного числа z.

6. acsch(z) – гиперболический арккосеканс. Результат – действительная часть для комплексного числа z.

7. Ai(x) – значение функции Эйри первого вида.

8. angle(x, y) – угол (в радианах) между положительным направлением оси x и радиус-вектором точки (x, y). Результат от 0 до 2p.

9. APPENDPRN(file) – добавление матрицы A к существующему файлу данных (обладающему структурой ASCII) file.prn на диске. Каждая строка матрицы становится новой строкой в данном файле. Существующие данные должны иметь столько же столбцов, сколько A.

10. arg(z) – угол (в радианах) между положительным направлением оси x и комплексного числа z. Результат от -p до p. Возвращает q, когда z представлено в виде rЧe^iЧq.

11. asec(z) – косеканс z (в радианах). Результат – действительная часть для комплексного числа z.

12. asech(z) – гиперболический косеканс z. Результат – действительная часть для комплексного числа z.

13. asin(z) – угол (в радианах), синус которого равен z; результат от -p/2 до p/2, если z вещественное. Действительная часть для комплексного z.

14. asinh(z) – ареасинус: обратная функция к гиперболическому синусу z. Результат – действительная часть для комплексного числа z.

15. atan(z) – арктангенс z. Результат от -p/2 до p/2, если z вещественное. Действительная часть для комплексного z.

16. atan2(x, y) – угол (в радианах) от положительного направления оси абсцисс до прямой, содержащей начало координат (0, 0) и точку с координатами (x, y). И x и y должны быть вещественными числами. Результат от -p до p.

17. atanh(z) – ареатангенс: обратная функция к гиперболическому тангенсу. Результат – действительная часть для комплексного числа z.

18. augment(A, B) – горизонтальное слияние двух матриц (векторов); обе матрицы должны иметь одинаковый размер.

19. bei(n, x) – значение мнимой функции Бесселя-Кельвина.

20. ber(n, x) – значение вещественной функции Бесселя-Кельвина порядка n.

21. Bi(x) – значение функции Эйри второго вида.

22. bspline(vx, vy, u, n) – вектор коэффициентов B-сплайна степени n. Полученный вектор становится первым аргументом функции interp.

23. bulstoer(y, x1, x2, acc, D, kmax, save) – решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием метода Булирша ¾ Штёра (Bulirsh ¾ Stoer). y – вектор начальных значений по интервалу (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. Kmax – максимальное число промежуточных точек, по которым должно быть аппроксимировано решение. Save – наименьшее допустимое пространство между величинами, по которым аппроксимировано решение.

24. Bulstoer(v, x1, x2, npts, D) – решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием метода Булирша ¾ Штёра. y – вектор начальных значений по интервалу (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. Npts – количество точек, не являющихся изначальными, по которым аппроксимировано решение.

25. bvalfit(v1, v2, x1, x2, xf, D, load1, load2, score) – начальные условия для краевой задачи. v1, v2 – векторы начальных значений неопределенных слева от x1 и x2 соответственно. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. Load(x1, v1), load(x1, v2) – вещественные векторы значений функции, n элементов которых аналогичны значениям n неизвестных функций в точках x1, x2 соответственно. Score(xf, y) – вещественный n-элементный вектор значений функции, определяющий, насколько, по вашему желанию, решение должно соответствовать значению в точке xf (решение известно в некоторой промежуточной точке xf).

26. ceil(x) – наименьшее целое, не превышающее x.

27. cfft(A) – быстрое дискретное преобразование Фурье массива комплексных чисел A. Возвращает массив такого же размера, как и его аргумент. A – вещественная или комплексная матрица или вектор.

28. CFFT(A) – то же, что и в пункте 27, но использует другие норму и знак.

29. cholesky(M) – треугольное разложение матрицы M методом Холецкого. M = LЧL^T, где M – симметричная матрица, L – треугольная матрица. Возвращает L.

30. cnorm(x) – суммарное стандартное нормальное распределение.

31. cols(A) – число столбцов в массиве A. A – матрица или вектор (рис. 4.10).

32. combin(n, k) – число поднаборов (каждый размером k), которое может быть сформировано из объектов n. Это число поднаборов известно как комбинация; n и k – целые числа, больше либо равные нулю (0ЈkЈn).

33. concat(S1, S2,...) – «склеивание» двух (или более) текстовых переменных S1 и S2. Ставит S2 в конец S1 и так далее (рис. 1.30).

34. cond1(M) – число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L1.

35. cond2(M) – число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L2.

36. condе(M) – число обусловленности матрицы, вычисленное в норме евклидового пространства.

37. condi(M) – число обусловленности матрицы, основанное на равномерной норме.

38. corr(A, B) – коэффициент корреляции для двух массивов A и B, где A и B – матрицы размера mґn, или векторы такого же размера.

39. cos(z) – косинус z (рис 1.15, 1,16).

40. cosh(z) – гиперболический косинус z.

41. cot(z) – котангенс z.

42. coth(z) – гиперболический котангенс z.

43. csc(z) – косеканс z.

44. csch(z) – гиперболический косеканс z.

45. csgn(z) – возвращает 0, если z=0, 1 – если Re(z)>0 или (Re(z)=0 и Im(z)>0), -1 – в других случаях (рис. 7.13).

46. csort(A, j) – сортировка матрицы A по столбцу j (перестановка строк по возрастанию значений элементов в столбце j). Результат – матрица такого же размера, как A.

47. cspline(vx, vy) – вектор коэффициентов кубического сплайна, построенного по векторам vx и vy. Полученный вектор становится первым аргументом функции interp (рис. 4.8, 4.10).

48. cvar(A, B) – ковариация элементов двух массивов A и B. A и B – вещественные или комплексные матрицы или векторы размером mґn.

49. dbeta(x, s1, s2) – плотность вероятности для b-распределения.

50. dbinom(k, n, p) – значение вероятности Pr(X=k), где X – случайная величина, имеющая биномиальное распределение.

51. dcauchy(x, l, s) – плотность вероятности для распределения Коши.

52. dchisq(x, d) – плотность вероятности для c-квадрат-распределения.

53. dexp(x, r) – плотность вероятности для экспоненциального распределения.

54. dF(x, d1, d2) – плотность вероятности для распределения Фишера.

55. dgamma(x, s) – плотность вероятности для g-распределения.

56. dgeom(k, p) – то же, что и пункте 55, но для геометрического распределения.

57. dhypergeom(m, a, b, n) – то же, что и пункте 55, но для гипергеометрического распределения. Возвращает значение вероятности Pr(x=m).

58. diag(v) – диагональная матрица, элементы главной диагонали которой – элементы вектора v.

59. dlnorm(x, m, s) – плотность вероятности для логнормального распределения.

60. dlogis(x, l, s) – плотность вероятности для последовательного распределения.

61. dnbinom(k, n, p) – то же, что и пункте 55, но для отрицательного биномиального распределения.

62. dnorm(x, m, s) – плотность вероятности для нормального распределения.

63. dpois(k, l) – то же, что и пункте 55, но для распределения Пуассона.

64. dt(x, d) – плотность вероятности для распределения Стьюдента.

65. dunif(x, a, b) – плотность вероятности для равномерного распределения.

66. dweibull(x, s) – плотность вероятности для распределения Вейбулла.

67. eigenvals(M) – вектор собственных значений матрицы M.

68. eigenvec(M, z) – нормированный собственный вектор квадратной матрицы M, соответствующий ее собственному значению z.

69. eigenvecs(M) – матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы M. Порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals.

70. erf(x) – функция ошибок.

71. erfc(x) – дополнительная функция ошибки. x – вещественное положительное скалярное число.

72. error(S) – сообщение об ошибке для текстовой переменной S (рис. 4.10, 6.4).

73. exp(z) – значение экспоненциальной функции e^z.

74. fft(v) – быстрое дискретное преобразование Фурье для вещественных чисел. v – вещественный вектор с 2ⁿ элементами, где n – целое число. Получим вектор размера 2^n-1+1.

75. FFT(v) – то же, что и fft(v), но использует другую норму и знак. Возвращает вектор размера 2^n-1+1.

76. fhyper(a, b, c, x) – значение гипергеометрической функции Гаусса в точке x; a, b, c – данные параметры.

77. Find(var1, var2,...) – значения var1, var2 ,... , представляющие решение системы уравнений. Число возвращаемых значений равно числу аргументов. Возвращает скаляр, если только один аргумент, в другом случае – вектор ответа (рис. 1.6, 1.8, 1.9, 1.14, 1.15, 3.3, 3.4).

78. floor(x) – наибольшее целое число, меньшее или равное x. x должно быть действительным числом (рис. 6.9).

79. gcd(A) – наибольшее целое число, на которое делятся все элементы массива A. Это целое число – наибольший общий делитель элементов в A. A – матрица или вектор, все элементы – целые числа больше нуля.

80. genfit(vx, vy, vg, F) – вектор, содержащий параметры, которые наилучшим образом аппроксимируют функцию F от x и n параметров u₀, u₁,... , u_{n -1} к данным в vx и vy. F – функция, которая возвращает n+1-вектор, содержащий f и ее частные производные по n параметрам. Векторы vx и vy должны быть одинакового размера. vg – n элементный вектор приблизительных значений для n параметров (рис. 4.6).

81. geninv(A) – матрица, левая обратная матрице A, LЧA=E, где E – единичная матрица размером n на n, L – прямоугольная матрица размером n на m, A – прямоугольная матрица размером m на n.

82. genvals(M, N) – вектор обобщенных собственных значений v_j матрицы M: MЧx=v_jЧNЧx. M и N – матрицы с действительными элементами, x – ненулевой собственный вектор.

83. genvecs(M, N) – матрица, содержащая нормированные собственные векторы, отвечающие собственным значениям в v (вектор, который возвращен функцией genvals). j-й столбец этой матрицы является собственным вектором x, удовлетворяющим собственному значению уравнения MЧx=v_jЧNЧx. Квадратные матрицы M и N содержат действительные значения.

84. gmean(A) – геометрическое среднее элементов массива A, A – вещественная матрица или вектор размера mґn, все элементы A должны быть больше нуля (рис. 3.14).

85. Her(n, x) – полином Эрмита степени n в точке x.

86. hist(intervals, A) – гистограмма. Вектор intervals задает границы интервалов в порядке возрастания. A – массив данных. Возвращает вектор той же размерности, что и вектор intervals, и содержит число точек из A, попавших в соответствующий интервал.

87. hmean(A) – гармоническое среднее элементов массива A, где A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размером mґn, все элементы A должны быть ненулевыми.

88. I0(x) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

89. I1(x) – модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.

90. ibeta(a, x, y) – неполная b-функция с параметром a в точке (x, y).

91. icfft(A) – обратное преобразование Фурье, соответствующее cfft. Возвращает массив такого же размера, как и его аргумент.

92. ICFFT(A) – обратное преобразование Фурье, соответствующее CFFT. Возвращает массив такого же размера, как и его аргумент.

93. identity(n) – единичная квадратная матрица размером n.

94. if(cond, x, y) – x, если cond не равно 0, иначе – y (рис. 2.7, 2.8).

95. ifft(v) – обратное преобразование Фурье, соответствующее fft. Берется вектор размером 1+2^n-1, где n целое число. Возвращает действительный вектор размером 2ⁿ.

96. IFFT(v) – обратное преобразование, соответствующее FFT. Берется вектор размером 1+2^n-1, где n целое число. Возвращает действительный вектор размером 2ⁿ.

97. Im(z) – мнимая часть комплексного числа z.

98. In(m, x) – модифицированная функция Бесселя первого рода порядка m.

99. intercept(vx, vy) – коэффициент a линейной регрессии y = a + bЧx векторов vx и vy (рис. 4.2).

100. interp(vs, vx, vy, x) – интерполируемое значение y в точке x по исходным векторам vx и vy (векторы имеют одинаковое число элементов) и по коэффициентам сплайна vs (рис. 4.7).

101. interp(vs, Mxy, Mz, n) – интерполируемое значение z, соответствующее точкам х=n₀ и у=n₁. Вектор vs вычисляется bspline, lspline, pspline, или cspline на основе данных из Mxy и Mz (матричные аргументы с одинаковым числом строк).

102. IsArray(x) – 1, если x – матрица или вектор, 0 – в других случаях (рис. 1.30).

103. IsScalar(x) – 1, если x – вещественное или комплексное число, 0 – в других случаях (рис. 1.30).

104. IsString(x) – 1, если x – текстовая переменная, 0 – в других случаях (рис. 1.30).

105. iwave(v) – обратное волновое преобразование относительно преобразования wave. v – вещественный вектор, размером 2ⁿ (n>0).

106. J0(x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

107. J1(x) – функция Бесселя первого рода первого порядка.

108. Jac(n, a, b, x) – полином Якоби степени n с параметрами a и b в точке x.

109. Jn(m, x) – функция Бесселя первого рода порядка m; 0<m<100.

110. js(n, x) – сферическая функция Бесселя первого рода порядка n в точке x.

111. K0(x) – модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

112. K1(x) – модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка.

113. Kn(m, x) – модифицированная функция Бесселя второго рода порядка m; 0<m<100.

114. ksmooth(vx, vy, b) – n-элементный вектор возвращенных средних vx, вычисленных на основе распределения Гаусса. vx и vy – n-элементные векторы действительных чисел. Полоса пропускания b управляет сглаживающими окнами.

115. kurt(A) – эксцесс элементов A.

116. Lag(n, x) – полином Лагерра степени n в точке x.

117. last(v) – индекс последнего элемента вектора v (рис. ?.?).

118. lcm(A) – наименьшее общее кратное: наименьшее положительное целое, для которого все значения массива являются сомножителями. Элементы массива A должны быть целыми неотрицательными числами.

119. Leg(n, x) – полином Лежандра степени n в точке x.

120. lenght(v) – число элементов в векторе v (рис. ?.?).

121. linfit(vx, vy, F) – коэффициенты линейной аппроксимации функций, хранящихся в символьном векторе F; исходные точки хранятся в векторах vx и vy (рис. 4.5).

122. linterp(vx, vy, x) – значение в точке x линейного интерполяционного многочлена векторов vx и vy (рис. 4.7).

123. ln(z) – натуральный логарифм для ненулевого вещественного числа z. Действительная часть (мнимая часть между p и -p) для комплексного z (рис. 4.?).

124. LoadColormap(file) – множество, содержащее значения цветовой диаграммы file.

125. loess(vx, vy, span) – вектор, используемый функцией interp для нахождения совокупности многочленов второй степени, которые наилучшим образом аппроксимируют часть данных из векторов vx и vy. Аргумент span указывает размер части аппроксимируемых данных.

126. loess(Mxy, vz, span) – вектор, используемый функцией interp для нахождения совокупности многочленов второй степени, которые наилучшим образом аппроксимируют зависимость Z(x, y) по массиву Mxy (вещественная матрица размером mґ2, содержащая координаты (x, y) данных точек). Значение Z в массиве vz.; span указывает размер области, на которой выполняется локальная аппроксимация.

127. log(z, b) – логарифм ненулевого вещественного числа z по основанию b. Действительная часть (мнимая часть между p и -p) для комплексного z. Если b не задано – десятичный логарифм z.

128. lsolve(M, v) – вектор решения системы линейных алгебраических уравнений вида MЧx=v (рис 1.7, 1.16, 4.9).

129. lspline(vx, vy) – вектор коэффициентов линейного сплайна, построенного по векторам vx и vy (рис. 4.8).

130. lspline(Mxy, Mz) – вектор, используемый функцией interp для интерполяции данных из Mxy и Mz. Интерполирующая поверхность имеет на границе сетки, определяемой Mxy, равные нулю производные выше первого порядка.

131. lu(M) – треугольное разложение матрицы M: PЧM=LЧU, где L и U – нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно. Все четыре матрицы квадратные, одного порядка.

132. matrix(m, n, f) – матрица, в которой (i, j)-й элемент содержит f(i, j), где i=0, 1,... m - 1 и j=0, 1,... n - 1.

133. max(A) – наибольший элемент в матрице A. Если A – комплекс, возвращает max(Re(A))+iЧmax(Im(A)) (рис. 2.8, 3.14).

134. Maximize(f, var1, var2,...) – значения var1, var2,..., которые заставляют функцию f принять свое максимальное значение. Получаем скаляр, если только одна неизвестная, в другом случае – вектор ответа. Максимизация может проводиться с ограничениями, которые записываются между ключевым словом Given и функцией Maximize (рис. 2.2, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9 и 6.33).

135. mean(A) – арифметическое среднее значение элементов массива A, где A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размером mґn (рис. 3.14).

136. median(A) – медиана элементов массива A. Медиана – это величина, больше и меньше которой одинаковое число элементов. A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размером mґn.

137. medsmooth(vy, n) – m-мерный вектор, сглаживающий vy методом скользящей медианы. vy – m-мерный вектор вещественных чисел. n – ширина окна, по которому происходит сглаживание.

138. mhyper(a, b, x) – объединенная (слияние) гипергеометрическая функция ₁F₁(a, b, x) или M(a, b, x) с параметрами a и b в точке x.

139. min(A) – наименьший элемент в массиве A. Если A хранит и комплексные числа, то возвращает min(Re(A))+iЧmin(Im(A)) (рис. 3.14).

140. MinErr(var1, var2,...) – вектор значений для var1, var2,..., которые приводят к минимальной ошибке в системе уравнений и неравенств, начинающихся от ключевого слова Given. Число неизвестных равно числу аргументов. Возвращает скаляр, если только один аргумент, в другом случае – вектор ответа (рис. 2.4, 2.7, 2.8, 3.3, 3.4, 3.5).

141. Minimize(f, var1, var2,...) – значения var1, var2,..., которые заставляют функцию f принять свое минимальное значение. Получаем скаляр, если только одна неизвестная, в другом случае – вектор ответа.. Минимизация может проводится с ограничениями, которые записываются между ключевым словом Given и функцией Minimize (рис. 2.7, 2.8, 2.10, 3.3 и 3.4).

142. mod(n, k) – остаток от деления n на k (n, k – целые числа). Аргументы должны быть действительными. Результат имеет такой же знак, как и n.

143. mode(A) – значение в массиве A, которое встречается наиболее часто.

144. multigrid(M, ncycle) – матрица решения уравнения Пуассона, где решение равно нулю на границах.

145. norm1(M) – L1 норма матрицы M.

146. norm2(M) – L2 норма матрицы M.

147. norme(M) – евклидова норма матрицы M.

148. normi(M) – неопределенная норма матрицы M.

149. num2str(z) – текстовые переменные, чья характеристика соответствует десятичному значению z (рис. 1.30).

150. pbeta(x,s1,s2) – значение в точке x функции стандартного b-распределения с параметрами формы s1, s2 (0<x<1, s1>0, s2>0).

151. pbinom(k, n, p) – функция биномиального распределения для k успехов в серии n испытаний (k – целое, 0ЈkЈn, p – вещественное число, 0ЈpЈ1).

152. pcauchy(x, l, s) – значение в точке x распределения Коши со шкалой параметров l и s (s>0).

153. pchisq(x, d) – значение в точке x c-квадрат-распределения, в котором d – степень свободы (x – вещественное, xі0).

154. permut(n, k) – число путей порядка n точных объектов k, взятых одновременно. N и k – целые числа (0ЈkЈn).

155. pexp(x, r) – значение в точке x экспоненциального распределения.

156. pF(x, d1, d2) – значение в точке x распределения Фишерa.

157. pgamma(x, s) – значение в точке x g-распределения.

158. pgeom(k, p) – Pr(XЈk), где X – случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметром p.

159. phypergeom(m, a, b, n) – Pr(XЈm), где X – случайная величина, имеющая геометрическое распределение с параметрами a, b и n.

160. plnorm(x, m, s) – значение в точке x логнормального распределения, в котором m – логарифм среднего значения, s>0 – логарифм стандартного отклонения.

161. plogis(x, l, s) – значение в точке x последовательного распределения, где l – параметр положения; s>0 – параметр шкалы.

162. pnbinom(k, n, p) – значение в точке x отрицательного биномиального распределения, в котором n>0 и 0<pЈ1.

163. pnorm(x, m, s) – значение в точке x нормального распределения со средним значением m и стандартным отклонением s>0.

164. polyroots(v) – (n+1) элементный вектор корней многочлена степени n, коэффициенты многочлена находятся в векторе v (рис 1.11, 3.1, 3.3).

165. ppois(k, l) – значение в точке x распределения Пуассона (kі0, l>0).

166. predict(v, m, n) – прогноз. Вектор, содержащий равноотстоящие предсказанные значения n переменных, вычисленных по m заданным в векторе v данным (рис. 4.14).

167. pspline(vx, vy) – вектор коэффициентов параболического сплайна, построенного по векторам vx и vy. Полученный вектор становится первым аргументом для функции interp (рис. 4.8).

168. pspline(Mxy, Mz) – вектор вторых производных для данных Mxy и Mz. Этот вектор становится первым аргументом в функции interp. Результирующая поверхность является параболической в границах области, ограниченной хордой Mxy.

169. pt(x, d) – значение в точке x распределения Стьюдента, где d – степень свободы; x>0 и d>0.

170. punif(x, a, b) – значение в точке x равномерного распределения, где b и a – границы интервала (a<b).

171. pweibull(x, s) – значение в точке x распределения Вейбулла (s>0).

172. qbeta(p, s1, s2) – квантили обратного бета-распределения с параметрами формы s1 и s2 (0ЈpЈ1 и s1, s2>0).

173. qbinom(p,n,q) – функция обратного биноминального распределения, то есть наименьшее целое k, такое что pnbinom(k, n, p)іp (0ЈqЈ1 и 0ЈpЈ1).

174. qcauchy(p, l, s) – функция обратного распределения Коши со шкалой параметров l и s (s>0 и 0<p<1).

175. qchisq(p, d) – функция обратного c-квадрат-распределения, при котором d>0; хактеристика степеней свободы (0Јp<1).

176. qexp(p, r) – функция обратного экспоненциального распределения, при котором r>0 определяет частоту (0Јp<1).

177. qF(p, d1, d2) – функция обратного распределения Фишера, в котором d1 и d2 – степени свободы (d1, d2>0, 0Јp<1).

178. qgamma(p, s) – функция обратного g-распределения, при котором s>0 – параметры формы (0Јp<1).

179. qgeom(p, q) – функция обратного геометрического распределения, то есть наименьшее целое k, такое что qgeom(p, q)іp (0ЈqЈ1 и 0ЈpЈ1).

180. qhypergeom(p, a, b, n) – функция обратного гипергеометрического распределения, то есть наименьшее целое k, такое что qhypergeom(p, a, b, n)іp (0Јa, 0Јb, 0ЈnЈ(a+b) и 0ЈpЈ1).

181. qlnorm(p, m, s) – функция обратного логнормального распределения, при котором m – логарифм среднего числа. s>0 – логарифм стандартного отклонения (0Јp<1).

182. qlogis(p, l, s) – функция обратного последовательного распределения, где l – параметр положения; s>0 – параметр шкалы (0<p<1).

183. qnbinom(p, n, q) – функция обратного отрицательного биномиального распределения, то есть наименьшее целое k, такое что qnbinom(p, n, q)іp (0<n, 0<p<1, 0<q<1).

184. qnorm(p, m, s) – функция обратного нормального распределения со средним значением m и стандартным отклонением s (0<p<1 и s>0).

185. qpois(p, l) – функция обратного распределения Пуассона, то есть наименьшее целое k, такое что qpois(p, l)іp (l>0 и 0ЈpЈ1).

186. qr(A) – разложение матрицы A, A=QЧR, где Q – ортогональная матрица и R – верхняя треугольная матрица.

187. qt(p, d) – функция обратного распределения Стьюдента, где d определяет степени свободы (d>0 и 0<p<1).

188. qunif(p, a, b) – функция обратного равномерного распределения. b и a – конечные значения интервала (a<b и 0ЈpЈ1).

189. qweibull(p, s) – функция обратного распределения Вейбулла (s>0 и 0<p<1).

190. rank(A) – ранг матрицы A. Максимальное число линейно независимых столбцов в A.

191. rbeta(m, s1, s2) – вектор m случайных чисел, имеющих b-распределение. s1, s2 (больше нуля) – параметры формы.

192. rbinom(m, n, p) – вектор m случайных чисел, имеющих биномиальное распределение (0ЈpЈ1, n – целое число, удовлетворяющее условию n>0).

193. rcauchy(m, l, s) – вектор m случайных чисел, имеющих распределение Коши. l и s>0 – параметры шкалы.

194. rchisq(m, d) – вектор m случайных чисел, имеющих c-квадрат-распределение. d>0 определяет степени свободы.

195. Re(z) – действительная часть комплексного числа z (2).

196. READ_BLUE(file) – матрица, содержащая только синий цвет компонента, содержащегося в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READRGB(file).

197. READBMP(file) – матрица, содержащая черно-белое представление изображения, расположенного в файле file. Каждый элемент матрицы соответствует одному пикселу. Каждый элемент – целое число от 0 (черный) до 255 (белый).

198. READ_GREEN(file) – матрица, содержащая только зеленый цвет компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READRGB(file).

199. READ_HLS(file) – матрица, в которой цветовая информация, содержащаяся в файле file, представлена соответствующими значениями оттенка цвета, яркостью, и насыщенностью. File имеет BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат.

200. READ_HLS_HUE(file) – матрица, содержащая только цветовые оттенки компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HLS(file).

201. READ_HLS_LIGHT(file) – матрица, содержащая только яркость цветового компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HLS(file).

202. READ_HLS_SAT(file) – матрица, содержащая только насыщенность цветового компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HLS(file).

203. READ_HSV(file) – матрица, в которой цветовая информация, содержащаяся в файле file, представлена соответствующими значениями оттенка цвета, насыщенности и величины. File имеет BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат.

204. READ_HSV_HUE(file) – матрица, соответствующая оттенку цветового компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HSV(file).

205. READ_HSV_SAT(file) – матрица, соответствующая только насыщенности цветового компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HSV(file).

206. READ_HSV_VALUE(file) – матрица, соответствующая величине цветового компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READ_HSV(file).

207. READ_IMAGE(file) – матрица, содержащая черно-белое представление, содержащееся в файле file. Каждый элемент матрицы соответствует одному пикселу. Каждый элемент – целое число от 0 (черный) до 255 (белый). file может быть в BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовом формате.

208. READPRN(file) – присваивание матрице значений из файла с именем READPRN(file).

209. READ_RED(file) – матрица, соответствующая только красному цвету компонента, расположенного в файле file, имеющем BMP-, GIF-, JPG- или TGA-цветовой формат. Полученная матрица содержит треть от числа столбцов матрицы, возвращенной функцией READRGB(file).

210. READRGB(file) – матрица, состоящая из трех подматриц, которые представляют красный, зеленый и синий компоненты цветного изображения, находящегося в файле file.

211. regress(vx, vy, n) – возвращает вектор, требующий interp, чтобы найти полином порядка n, который наилучшим образом приближает данные из vx и vy. vx –m-элементный вектор, содержащий координаты x. vy – m-элементный вектор, содержащий кооординаты y, соответствующие m точкам, определенным в vx.

212. regress(Mxy,vz,n) – вектор, запрашиваемый функцией interp для вычисления многочлена n-й степени, который наилучшим образом приближает множества Mxy и vz. Mxy – матрица mґ2, содержащая координаты (x;y) m данных точек. vz – m-элементный вектор, содержащий z координат, соответствующих m точкам, указанным в Mxy.

213. relax(A,B, C, D, E, F, U, rjac) – квадратная матрица решения уравнения Пуассона.

214. reverse(v) – порядок элементов вектора v.

215. reverse(A) – порядок строк матрицы A.

216. rexp(m, r) – вектор m случайных чисел, имеющих экспоненциальное распределение. r>0 является частотой.

217. rF(m, d1, d2) – вектор m случайных чисел, имеющих распределение Фишера. d1>0, d2>0 – степени свободы.

218. rgamma(m, s) – вектор m случайных чисел, имеющих g-распределение. s>0 – параметр формы.

219. rgeom(m, p) – вектор m случайных чисел, имеющих геометрическое распределение (0<pЈ1).

220. rhypergeom(m, a, b, n) – вектор m случайных чисел, имеющих гипергеометрическое распределение (aі0, bі0, 0ЈnЈ(a+b)).

221. rkadapt(y, x1, x2, acc, D, kmax, save) – матрица, содержащая значения решения задачи Коши на интервале от x1 до x2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленных методом Рунге ¾ Кутты с переменным шагом; y – вещественный вектор начальных значений. Kmax – максимальное число промежуточных точек, по которым должно быть аппроксимировано решение. Save – наименьшее допустимое пространство между величинами, по которым аппроксимировано решение. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций.

222. Rkadapt(v, x1, x2, npts, D) – матрица решений методом Рунге ¾ Кутты (с переменным шагом) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (по интервалу от x1 до x2); y – вещественный вектор начальных значений. Npts – количество точек, не являющихся изначальными по которым аппроксимировано решение. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций.

223. rkfixed(y, x1, x2, npts, D) – матрица решений методом Рунге ¾ Кутты системы обыкновенных дифференциальных уравнений (по интервалу от x1 до x2); y – вещественный вектор начальных значений. npts – количество точек, не являющихся изначальными, по которым аппроксимировано решение. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций (рис. 5.2).

224. rlnorm(m, m, s)– вектор m случайных чисел, имеющих логнормальное распределение, в котором m – логарифм среднего значения. s>0 – логарифм стандартного отклонения.

225. rlogis(m, l, s) – вектор m случайных чисел, имеющих последовательное распределение, в котором l – локализационный параметр и s>0 – параметр шкалы.

226. rnbinom(m, n, p) – вектор m случайных чисел, имеющих отрицательное биномиальное распределение (0<pЈ1). n – целое число, которое удовлетворяет условию n>0.

227. rnd(x) – псевдослучайное число в диапазоне от нуля до x (рис. 3.6, 3.7, 6.9).

228. rnorm(m, m, s) – вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение (s>0).

229. root(f(var), var) – значение переменной var, при котором выражение f(var) равно нулю (рис 1.10, 2.3, 2.7, 3.1).

230. round(x) – округление вещественного x до целого числа.

231. rows(A) – число строк в массиве A, где A – матрица или вектор (рис. 4.10).

232. rpois(m, l) – вектор m случайных чисел, имеющих распределение Пуассона (l>0).

233. rref(A) – ступенчатый вид вещественной матрицы A.

234. rsort(A, i) – сортировка столбцов матрицы A по расположению элементов в строке i (перестановка столбцов по возрастанию значений элементов в строке i). Получим матрицу такого же размера, как A (0ЈiЈ(m-1)).

235. rt(m, d) – вектор m случайных чисел, имеющих распределение Стьюдента. d>0 – степень свободы.

236. runif(m, a, b) – вектор m случайных чисел, имеющих равномерное распределение, в котором b и a – границы интервала и a<b.

237. rweibull(m,S) – вектор m случайных чисел, имеющих распределение Вейбулла, в котором S>0 – параметр формы.

238. SaveColormap(file, M) – цветовая диаграмма file, содержащая значения матрицы M, возвращает количество строк, написанных в file.

239. sbval(v, x1, x2, D, load, score) – установка начальных условий для краевой задачи, D – вещественный n-элементный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. Вектор v – начальные условия по интервалу (x1, x2). Load(x1, v) – вещественный вектор значений функции, n элементов которого аналогичны значениям n неизвестных функций в точке x1. Score(x2, y) – вещественный n-элементный вектор значений функции c измеренным различием, вычисленным в точке x2 (рис. 5.5).

240. search(S, SubS, m) – начальное положение текстовой подпеременной SubS в S начиная с позиции m. Возвращает минус единицу, если текстовая подпеременная не найдена (рис. 1.30).

241. sec(z) – секанс z (в радианах).

242. sech(z) – гиперболический секанс z.

243. sign(x) – возращает 0, если x=0, 1 – если x>0, минус единицу – в других случаях (x – вещественное число).

244. signum(z) – возвращает 1 – если z=0, и z/|z| – в других случаях (z – комплексное число) (рис. 7.13).

245. sin(z) – синус z (рис 1.15, 1,16, 1,29).

246. sinh(z) – гиперболический синус z.

247. skew(A) – коэффициент асимметрии массива A, где A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размера mґn, mЧnі3.

248. slope(vx, vy) – коэффициент a линейной регрессии y = aЧx + b векторов vx и vy (vx и vy имеют одинаковый размер – рис. 4.2).

249. sort(v) – сортировка элементов вектора v по возрастанию их значения.

250. stack(A, B) – матрица, сформированная путем расположения A над B. Матрицы (или векторы) A, B должны иметь одинаковое число столбцов (рис. 6.9).

251. stderr(vx, vy) – стандартная ошибка, связанная с линейной регрессией, показывающей, насколько данные точки разбросаны относительно линии регрессии.

252. stdev(A) – стандартное отклонение элементов массива A, где A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размера mґn. mґn-1 используется в знаменателе (делителе): Stdev(A) = Ц var(A).

253. Stdev(A) – стандартное отклонение элементов A, где A – вещественная или комплексная матрица (вектор) размера mґn. mґn-1 используется в знаменателе (делителе): Stdev(A) = Ц Var(A).

254. stiffb(y, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) – матрица решений жесткого дифференциального уравнения с использованием метода Bulirsch-Stoer; y – вектор начальных значений на интервале (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. J(x, y) – вещественный вектор значений функции, возвращающий матрицу размером nґ(n+1), в первом столбце которой содержатся частные производные D по x, а в остальных столбцах – частные производные D по y. Kmax – максимальное число промежуточных точек, по которым должно быть аппроксимировано решение. Save – наименьшее допустимое пространство между величинами, по которым аппроксимировано решение. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций.

255. Stiffb(y, x1, x2, npts, D, J) – матрица решений жесткого дифференциального уравнения с использованием метода Bulirsch-Stoer; y – вектор начальных значений по интервалу (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. J(x, y) – вещественный вектор значений функции, возвращающий матрицу размером nґ(n+1), в первом столбце которой содержатся частные производные D по x, а в остальных столбцах – частные производные D по y. Npts – количество точек, не являющихся изначальными, по которым аппроксимировано решение.

256. stiffr(у, x1, x2, acc, D, J, kmax, save) – матрица решений жесткого дифференциального уравнения с использованием метода Розенброка; y – вектор начальных значений по интервалу (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. J(x, y) – вещественный вектор значений функции, возвращающий матрицу размером nґ(n+1), в первом столбце которой содержатся частные производные D по x, а в остальных столбцах – частные производные D по y. Kmax – максимальное число промежуточных точек, по которым должно быть аппроксимировано решение. Save – наименьшее допустимое пространство между величинами, по которым аппроксимировано решение. D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций.

257. Stiffr(y, x1, x2, npts, D, J) – матрица решений жесткого дифференциального уравнения с использованием метода Розенброка; y – вектор начальных значений по интервалу (x1, x2); D(x, y) – вещественный вектор значений функции, содержащий производные (по y) неизвестных функций. J(x, y) – вещественный вектор значений функции, возвращающий матрицу размером nґ(n+1), в первом столбце которой содержатся частные производные D по x, а в остальных столбцах – частные производные D по y. Npts – количество точек, не являющихся изначальными, по которым аппроксимировано решение.

258. str2num(S) – постоянная, образованная путем обращения знаков из S в число. Знаки в S должны составлять реальное (или комплексное) число с плавающей запятой или число с e-форматом. Пробелы в текстовой переменной игнорируются (рис. 1.30).

259. str2vec(S) – вектор с ASCll-кодами, соответствующими значениям текстовой переменной S (рис. 1.30).

260. strlen(S) – число знаков в текстовой переменной S (рис. 1.30).

261. submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – подматрица A, состоящая из элементов, общих для строк от ir до jr и столбцов от ic до jc. Для того чтобы сохранить порядок строк и (или) столбцов, нужно быть уверенным, что irЈjr и icЈjc, в противном случае порядок строк и (или) столбцов будет изменен (рис. 4.10).

262. substr(S, m, n) – текстовая подпеременную S, начинающаяся со знаков в позиции m и имеющая самое большее n знаков (m, nі0) (рис. 1.30).

263. supsmoot(vx, vy) – n-мерный вектор, сглаживающий зависимость y от x. Значения y и x в векторах vy и vx (vx, vy – n-элементные векторы) (рис. 4.15).

264. svd(A) – сингулярное разложение матрицы A размером nґm: A=UЧSЧV^T, где U и V – ортогональные матрицы размером mґm и nґЧn соответственно. S – диагональная матрица, на диагонали – сингулярные числа матрицы A.

265. svds(A) – вектор, содержащий сингулярные числа матрицы A, имеющей размер mґn, где mіn.

266. tan(z) – тангенс z (в радианах).

267. tanh(z) – гиперболический тангенс z.

268. Tcheb(n, x) – полином Чебышева первого рода степени n в точке x.

269. tr(M) – сумма диагональных элементов квадратной матрицы M (след матрицы).

270. trunc(x) – целая часть вещественного числа x.

271. Ucheb(n, x) – полином Чебышеева второго рода степени n, в точке x.

272. var(A) – вариация (дисперсия) элементов массива A, где A – вещественная или комплексная матрица размером mґn или множество.

273. vec2str(v) – текстовая переменная, образованная конвертированием вектора v в ASCll-кодах к знакам. Элементы v должны быть целыми числами в интервале от 0 до 255 (рис. 1.30).

274. wave(v) – дискретное волновое преобразование действительных чисел с использованием 4-коэффициентного волнового фильтра Добиши (Daubechies). Вектор v должен содержать 2ⁿ действительных значений, где n – целое число больше 0.

275. WRITEBMP(file) – шкала яркости выходного файла матрицы BMP.

276. WRITE_HLS(file) – матрица, имеющая цветовой формат BMP в файле file, полученная из матрицы, образованной путем слияния трех матриц, дающих соответствующие значения оттенка цвета, яркости и насыщенности.

277. WRITE_HSV(file) – матрица, имеющая цветовой формат BMP в файле file, полученная из матрицы, образованной путем слияния трех матриц, дающих соответствующие значения оттенка цвета, насыщенности и величины.

278. WRITEPRN(file) – матрица в файле file, имеющем структуру ASCII. Каждая строка матрицы становится новой строкой в данном файле.

279. WRITERGB(file) – матрица, имеющая цветовой формат BMP в файле file, полученная из матрицы, образованной путем слияния трех матриц, дающих красное, зеленое и синее значения.

280. Y0(x) – функция Бесселя второго рода нулевого порядка; x – действительное и положительное.

281. Y1(x) – функция Бесселя второго рода первого порядка; x – действительное и положительное.

282. Yn(m, x) – функция Бесселя второго рода порядка m; x – действительное положительное число; m – от 0 до 100.

283. ys(n, x) – сферическая функция Бесселя второго рода порядка n.

284. d(m, n) – d-функция Кронекера (1, если m=n, и 0 – в других случаях; x и y – целые числа).

285. e(i, j, k) – абсолютно асимметричный тензор размерности три. i, j и k должны быть целыми числами от 0 до 2 (или между ORIGIN и ORIGIN+2, если ORIGIN№0). Результат равен 0, если любые два равны, 1 – если три аргумента являются четной перестановкой (0, 1, 2), и -1, если три аргумента являются перестановкой (0, 1, 2), кратной 2 и не кратной 4.

286. Г(z) – g-функция Эйлера (рис. 7.6).

287. Г(x, y) – вытянутая g-функция Эйлера.

288. F(x) – функция Хевисайда (1, если xі0, и 0 – в других случаях) (рис. 6.19).

3.3. Функции численных методов[3] (Numerical Recipes):

· решение линейных алгебраических уравнений:

gaussjInvert(A) – inverse of the square matrix A, found using Gauss-Jordan elimination.

gaussjSolve(A, b) – solution vector x for the linear system Ax = b, found using Gauss-Jordan elimination.

luSolve(A, b) – solution vector x for the linear system Ax = b, found using LU decomposition.

tridag(a, b, c, r) – solution x of the tridiagonal system Ax = r; a is the subdiagonal, b the diagonal and c the superdiagonal of the matrix A, with the first entry of a and the last of c being 0.

improve(A, b, x) – improved solution vector for the system Ax = b, given a solution x.

svdcmp(M) – Singular Value Decomposition of the real m by n matrix M into a product UWV-transpose of matrices, where U is m by n, W is an n by n diagonal matrix and V is n by n. Returns a matrix of size max(m,n) by 2n+1, containing in columns 0 through n-1 the matrix U, in column n the diagonal elements of the matrix W and in columns n+1 through 2n the matrix V. If m and n are not equal, zeros are filled in for the unused entries.

svSolve(A, b) – Singular Value Decomposition of the real m by n matrix M into a product UWV-transpose of matrices, where U is m by n, W is an n by n diagonal matrix and V is n by n. Returns a matrix of size max(m, n) by 2n+1, containing in columns 0 through n-1 the matrix U, in column n the diagonal elements of the matrix W and in columns n+1 through 2n the matrix V. If m and n are not equal, zeros are filled in for the unused entries.

· интерполяция и экстраполяция:

polint(X, Y, p) – interpolated value at the point p of a function given by a table of x-y pairs, using polynomial interpolation. The x-y data are in the vectors X and Y. Returns a vector of length 2 containing the interpolated value and an estimate of the error.

ratint(X, Y, p) – interpolated value at the point p of a function defined by a table of x-y pairs, using rational function interpolation. The x-y data are in the vectors X and Y. Returns a vector of length 2 containing the interpolated value and an estimate of the error.

polcof(X, Y) – coefficients of the interpolating polynomial for the points with (x,y) coordinates in the vectors X and Y. The coefficients start with the constant term.

polin2(X, Y, Z, a, b) – interpolated value at the point (a,b) of a function of two variables defined by a table of x-y-z values, using polynomial interpolation. The x-y-z data are in the vectors X, Y, and Z. Returns a vector of length 2 containing the interpolated value and an estimate of the error.

· интегрирование функций:

Midpnt(f, a, b) – integral of f from a to b computed using the extended midpoint rule.

Midinf(f, a, b) – integral of f from a to b, where one of the limits is infinite.

Midsql(f, a, b) – integral of f from a to b where f has a "1 over the square root of x" singularity at a.

Midsqu(f, a, b) – integral of f from a to b where f has a singularity at b.

Midexp(f, a) – integral of f from a to b where f has a singularity at b.

qgaus(f, a, b) – integral of f from a to b computed using 10-point Gaussian quadrature.

Gauleg(f, a, b, n) – integral of f from a to b using n-point Gauss-Legendre quadrature.

Gaulag(f, alpha, n) – integral of x^alpha* e^(-x)* f from 0 to infinity computed using n-point Gauss-Laguerre.

Gauher(f, n) – integral of x^alpha* e^(-x)* f from 0 to infinity computed using n-point Gauss-Laguerre

Gaujac(f, alpha, beta, n) – integral of (1 - x)^alpha* (1 + x)^beta* f from 0 to infinity computed using n-point Gauss-Jacobi quadrature.

quad3d(f, X1, X2, Y, Z) – integral of f over the three dimensional region defined by the x limits x1 and x2 and the y and z boundaries in Y (a two-vector giving the lower and upper y limits as a function of x) and Z (a two-vector giving the lower and upper z limits as a function of x and y).

· преобразование функций:

ddpoly(c, x, nd) – vector containing the value at x of the polynomial with coefficients c, and the first nd derivatives evaluated at x.

poldiv(N, D) – quotient and remainder resulting from dividing the polynomial with coefficients N by the polynomial with coefficients D. The coefficients of the quotient are in the first column of the result and the coefficients of the remainder in the second column.

chebft(a, b, n, f) – coefficients for an approximation to f over the interval [a,b] as a sum of the first n Chebyshev polynomials.

chebev(a, b, c, x) – Chebyshev approximation to the value of a function at the point x. The Chebyshev coefficients c of a Chebyshev approximation to f over the interval (a,b) were computed using the function chebft.

Chebcoef(c, a, b) – coefficients of a polynomial approximation for a function f, computed from the coefficients c of the Chebyshev approximation for f over the interval (a,b). Use chebft to compute c.

pade(C) – coefficients of the numerator and denominator of a Pade approximation to a function that has a Taylor approximation with coefficients C. The third column of the returned array contains the norm of the residual vector followed by zeros.

ratlsq(f, a, b, m, k) – coefficients for a rational approximation to f over the interval [a,b] with numerator degree m and denominator degree n.

· работа со специальными функциями:

gammln(x) – ln(Gamma(x))

bico(n, k) – binomial coefficient (n,k).

beta(x, w) – beta function B(x,w).

factln(n) – logarithm of n factorial, ln(n!).

gammp(a, x) – incomplete gamma function P(a,x).

gammq(a, x) – complementary incomplete gamma function.

erffc(x) – complementary error function.

ei(x) – exponential integral.

betai(a, b, x) – incomplete beta function I(a,b,x).

bessjy(x, n) – Bessel functions Jn and Yn and their derivatives for a positive real argument x. Returns a 2 by 2 matrix containing Jn(x) and Yn(x) in the first row and Jn'(x) and Yn'(x) in the second row.

bessik(x, n) – Jn(x) and Yn(x) in the first row and Jn'(x) and Yn'(x) in the second row.

airy(x) – Airy functions Ai(x) and Bi(x) and their derivatives for a real number x. Returns a 2 by 2 matrix containing Ai(x) and Bi(x) in the first row and Ai'(x) and Bi'(x) in the second row.

sphbes(n, x) – spherical Bessel functions jn(x) and yn(x) and their derivatives for a positive argument x. Returns a 2 by 2 matrix containing jn(x) and yn(x) in the first row and j'n(x) and y'n(x) in the second row.

plgndr(nu, mu, x) – value at x of the associated Legendre polynomial P(nu,mu,x).

FresnelC(x) – Fresnel cosine integral.

FresnelS(x) – Fresnel sine integral.

Ci(x) – cosine integral.

Si(x) – sine integral.

rf(x, y, z) – Carlson's elliptic integral of the first kind.

rd(x, y, z) – Carlson's elliptic integral of the second kind.

rj(x, y, z, p) – Carlson's elliptic integral of the third kind.

rc(x, y) – Carlson's degenerate elliptic integral.

ellf(phi, k) – Legendre elliptic integral of the first kind.

elle(phi, k) – Legendre elliptic integral of the second kind.

ellpi(phi, k) – Legendre elliptic integral of the third kind.

sncndn(u, m) – Jacobian elliptic functions sn(u|m), cn(u|m), and dn(u|m), in a vector of length 3.

hypgeo(a, b, c, z) – hypergeomtric function F(a,b;c;z) for complex argument z.

· работа со случайными числами:

InitializeExpdev(k) – input value. Initializes the function expdev with a seed value for later calls.

expdev(n) – vector of n random numbers drawn from an exponential distribution with mean 1.

InitializeGasdev(k) – input value. Initializes the function gasdev with a seed value for later calls.

gasdev(n) – vector of n random numbers drawn from a normal distribution with mean 0 and variance 1.

InitializeGamdev(k) – input value. Initializes the function gamdev with a seed value for later calls.

gamdev(a, n) – vector of n random numbers drawn from a gamma distribution of order a.

InitializePoidev(k) – input value. Initializes the function poidev with a seed value for later calls.

poidev(y, n) – vector of n random numbers drawn from a Poisson distribution with mean y.

InitializeBnldev(k) – vector of n random numbers drawn from a Poisson distribution with mean y.

bnldev(p, N, n) – vector of n random numbers drawn from a binomial distribution for N trials with success probability p.

irbit2(n) – vector n random bits (0 or 1) generated by a recurrence based on the primitive polynomial.

InitializeSobseq(k) – input value; used to initialize the function sobseq for later calls.

sobseq(n, m) – array of m points in n-space generated using a Sobol' sequence; each column represents a point, with all coordinates between 0 and 1.

vegas(rg, f, init, n, im) – integral of f over the region defined in the array rgn. Returns an array of length 3 containing the best estimate for the integral, its standard deviation, and the value of the chi-square statistic for the set of estimates.

· поиск корней нелинейных алгебраических уравнений и систем:

rtbis(f, a, b, acc) – root of f between a and b, to accuracy acc, found by bisection.

zriddr(f, a, b, acc) – root of f between a and b, to accuracy acc, found using Ridder's method.

zbrent(f, a, b, acc) – root of f between a and b, to accuracy acc, found by Brent's method.

laguer(C, z) – approximation for a root of the polynomial with coefficients C, using Laguerre's method starting from the guess z.

zroots(C, polish) – vector containing all the complex roots of the polynomial with complex coefficients C. Set polish to 1 to refine the roots.

newt(x, F) – common root of the set of n functions of n variables given in F, using Newton's method. The length-n vector x is an initial guess.

broydn(x, F) – common root of the set of n functions of n variables given in F, using Broyden's method. The length-n vector x is an initial guess.

· минимизация и максимизация функций одной и многих переменных (включая задачу линейного программирования и задачу коммивояжера):

brent(a, b, c, f, acc) – location of a minimum of f lying between a and c, where b is between a and c and f(b) is less than f(a) and f(c); found by Brent's method with precision acc.

amoeba(p, acc, f) – location of a minimum of the scalar function of n variables f, with initial guess in the vector p; uses the downhill simplex method and returns a matrix whose rows are n + 1 points in n-space at which f is within acc of a minimum.

powell(s, xi, ftol, f) – location of a minimum of the scalar function of n variables f, with initial guess in the vector s and starting directions in the array xi; uses Powell's method with convergence tolerance ftol.

frprmn(p, acc, f, gradf) – location of a minimum of the scalar function of n variables f, with initial guess in the vector p and gradient computed by the vector function gradf; uses Fletcher-Reeves-Polak-Ribiere minimization with convergence tolerance acc.

dfpmin(p, acc, f, gradf) – location of a minimum of the scalar function of n variables f, with initial guess in the vector p and gradient computed by the vector function gradf; uses Davidon-Fletcher-Powell minimization with convergence tolerance acc.

simplx(S, m1, m2) – vector containing the values of the variables that minimize the objective function subject to a set a inequalities. The matrix S contains the objective function and the inequality constraints in restricted normal form; m1 and m2 are the numbers of "less than or equal to" and "greater than or equal to" constraints.

anneal(X, Y) – solution to the traveling salesman problem. The vectors X and Y give the coordinates of the cities, and the returned vector gives the order in which they should be visited for a nearly minimal path.

· работа с собственными системами:

jacobi(M) – eigenvalues and eigenvectors of the real symmetric matrix M; the eigenvalues are in the first column of the answer and the eigenvectors in the remaining columns.

tqli(d, e) – eigenvalues and eigenvectors of a real symmetric tridiagonal matrix; d is the diagonal and e is the subdiagonal of the matrix (the first entry of e is not used). The eigenvalues are in the first column of the answer and the eigenvectors in the remaining columns.

· быстрые преобразования Фурье:

cosft2(v) – staggered cosine transform of the data vector v.

icosft2(v) – inverse staggered cosine transform of v.

fourn(v, n) – n-dimensional discrete Fourier transform of the data stored in v.

ifourn(v, n) – n-dimensional inverse discrete Fourier transform of the points stored in v.

· спектральный анализ:

memcof(v, m) – vector of m linear prediction coefficients for the data v.

fixrts(d) – modified vector of linear prediction coefficients; moves any zeros of the characteristic polynomial that are outside the unit circle to inside.

predic(v, d, n) – vector of n values predicted from the data v using the linear prediction coefficients d.

evlmem(f, d, m) – vector giving the power spectrum of the data d at the frequencies in f, computed using m coefficients generated by the function memcof.

period(X, Y, of, hf) – Lomb periodogram of a set of x-y data points. The x-y data are in the vectors X and Y; hf is the highest frequency and of is the oversampling factor. The result is a matrix with frequencies in the first column and the values of the normalized periodogram at these frequencies in the second column.

fasper(X, Y, of, hf) – Lomb periodogram of a set of x-y data points, using a fast algorithm. The x-y data are in the vectors X and Y; hf is the highest frequency and of is the oversampling factor. The result is a matrix with frequencies in the first column and the values of the normalized periodogram at these frequencies in the second column.

wt1Daub4(v) – 1-dimensional discrete wavelet transform of v computed using the Daubechies 4-coefficient wavelet filter.

iwt1Daub4(v) – inverse 1-dimensional discrete wavelet transform of v computed using the Daubechies 4-coefficient wavelet filter.

wtnDaub4(v, n) – n-dimensional discrete wavelet transform of the data stored in v computed using the Daubechies 4-coefficient wavelet filter.

iwtnDaub4(v, n) – inverse n-dimensional discrete wavelet transform of the points stored in v computed using the Daubechies 4-coefficient wavelet filter.

wt1Pwt(v, w) – 1-dimensional discrete wavelet transform of v computed using the Daubechies 4-, 12- or 20-coefficient wavelet filter; w gives the order of the filter.

iwt1Pwt(v, w) – inverse 1-dimensional discrete wavelet transform of v computed using the Daubechies 4-, 12- or 20-coefficient wavelet filter; w gives the order of the filter.

wtnPwt(v, w, m) – n-dimensional discrete wavelet transform of the data stored in v computed using the Daubechies 4-, 12- or 20-coefficient wavelet filter; the elements of w give the size of the data in each dimension; m gives the order of the filter.

iwtnPwt(v, w, m) – inverse n-dimensional discrete wavelet transform of the data stored in v computed using the Daubechies 4-, 12- or 20-coefficient wavelet filter; the elements of w give the size of the data in each dimension; m gives the order of the filter.

· статистическая обработка данных:

moment(v) – Moment information for the data vector v. Returns the mean, average absolute deviation, standard deviation, variance, skewness and kurtosis of v.

ttest(v1, v2) – value of Student's t to test whether the two samples v1 and v2 are drawn from distributions with the same mean. The two distributions are assumed to have equal variances. The result is a vector of length 2 containing the value of Student's t and the probability that this value or larger would occur when the distributions have the same mean.

tutest(v1, v2) – value of Student's t to test whether the two samples v1 and v2 are drawn from distributions with the same mean. Equal variances are not assumed. The result is a vector of length 2 containing the value of Student's t and the probability that this value or larger would occur when the distributions have the same mean.

tptest(v1, v2) – value of Student's t to test whether the paired data v1 and v2 are drawn from distributions with the same mean. Equal variances are not assumed, and the paired data may be correlated. The result is a vector of length 2 containing the value of Student's t and the probability that this value or larger would occur when the distributions have the same mean.

ftest(v1, v2) – value of the F statistic to test whether the two samples v1 and v2 are drawn from distributions with the same variance. The result is a vector of length 2 containing the value of F and the probability that this value or larger would occur when the distributions have the same variance.

chsone(bins, ebins, k) – Chi-square for the comparison of an observed distribution with a known distribution. The binned observed data are in bins, the expected counts for the know distribution are in ebins; k is the number of constraints. The result is a vector of length 3 containing the number of degrees of freedom, the value of the chi-square statistic and the probability that this value or a higher value will occur when the observed data is drawn from a population with the known distribution.

chstwo(bins1, bins2, k) – Chi-square for two sets of binned observed data. The binned observed data are in bins1 and bins2 and k is the number of constraints. The result is a vector of length 3 containing the number of degrees of freedom, the value of the chi-square statistic and the probability that this value or a higher value will occur when the two sets of observed data are drawn from the same distribution.

ksone(d, f) – Kolmogorov-Smirnov statistic comparing the distribution of the data in d with the cumulative distribution function f. The result is a vector of length 2 containing the statistic D and its significance level.

kstwo(v1, v2) – Kolmogorov-Smirnov statistic for two sets of data v1 and v2. The result is a vector of length 2 containing the value of the Kolmogorov-Smirnov statistic D and the probability that this value or a larger value would occur if the two sets of observed data were drawn from the same distribution.

cntab1(T) – significance of association between two variables with observed data stored in the two-dimensional contingency table T. The result is a length 5 vector containing the value of the chi-square statistic, the number of degrees of freedom, the probability that the value of the chi-square statistic occurs when the variables are independent, Cramer's V, and the contingency coefficient C.

pearsn(X, Y) – Information about the correlation of the paired data in the vectors X and Y. The result is a vector of length 3 containing the value of Pearson's r, the significance level at which we reject the null hypothesis that the two samples are uncorrelated and Fisher's z-transformation.

spear(X, Y) – rank-order correlation of the data vectors X and Y. The result is a vector of length 5 containing the sum squared difference of ranks D, the number of standard deviations by which D deviates from the expected value under the null hypothesis, the probability that this value or a larger value occurs for uncorrelated samples, Spearman's rank-order correlation coefficient rs and the probability that this value or one larger in absolute value would occur if the samples were uncorrelated.

kendl1(X, Y) – Kendall's tau for the data sets X and Y. The result is a vector containing Kendall's tau, its number of standard deviations away from zero and the probability that a value this large or larger in absolute value would occur if the samples were uncorrelated.

kendl2(T) – Kendall's tau for the data in the contingency table T. The result is a vector containing Kendall's tau, its number of standard deviations away from zero and the probability that a value this large or larger in absolute value would occur if the samples were uncorrelated.

ks2d1s(x, y, quad) – two-dimensional Kolmogorov-Smirnov statistic comparing the x-y data points given by the vectors x and y with the target model given by the function quad. The result is a vector of length 2 containing the K-S statistic and its significance level.

quadvl(x, y) – vector of length 4 containing the fraction of the uniform distribution on [0,1] x [0,1] that lies in each quadrant around (x,y).

ks2d2s(X, Y, Z, W) – two-dimensional Kolmogorov-Smirnov statistic for the two-dimensional data sets defined by the vectors X, Y and Z, W. The result is a length 2 vector containing the largest percentage difference found between the two sets of data points and the probability that this value is consistent with the two sets of data having the same distribution.

· моделирование данных:

fit(X, Y) – best straight-line fit to the x-y data in the vectors X and Y, assuming unknown errors in the first coordinate. The result is a vector of length 5 containing the values of a and b such that a + bx is the line of best fit for the given data, the probable uncertainties of the values of a and b and the value of the chi-square statistic for the set of points.

fitmwt(X, Y, S) – best straight-line fit to the x-y data in the vectors X and Y, assuming no errors in the first coordinate and standard deviations for the second coordinate given by S. The result is a vector of length 6 containing the values of a and b such that a + bx is the line of best fit for the given data, the probable uncertainties of the values of a and b, the value of the chi-square statistic for the set of points and the probability of a chi-square statistic this large or larger.

fitexy(X, Y, SX, SY) – best straight-line fit to the x-y data in the vectors X and Y, with standard deviations SX and SY. The result is a vector of length 6 containing the values of a and b such that a + bx is the line of best fit for the given data, the probable uncertainties of the values of a and b, the value of the chi-square statistic for the set of points and the probability of a chi-square statistic this large or larger.

lfit(x, y, s, a, ia, F) – coefficients for the linear combination of the functions in F that best fit the x-y data given in the vectors x and y, with standard deviations given by s. The vector a gives values for the coefficients and the vector ia indicates which functions are to be fitted and which take their coefficients from a.

svdfit(x, y, s, m, F) – coefficients for the linear combination of the m functions in F that best fit the x-y data given in the vectors x and y, with standard deviations for the y's given by s.

svdvar(x, y, s, m, F) – covariance matrix for the fitting parameters found by svdfit. The data vectors are x and y, with standard deviations for the y's in s. The fitting functions are in F.

Mrqmin(x, y, s, a, ia, F) – coefficients for the best fit by the nonlinear function defined by F to the x-y data given in the vectors x and y, with standard deviations given by s. The vector a gives values for the parameters and the vector ia indicates which parameters are to be fitted and which held fixed at the values in a. F is a vector function of x and the parameters, with the fitting function in the first element and its derivative with respect to each parameter in the remaining elements.

fgauss(x, a) – value of a sum of Gaussian curves specified by the parameters in the vector a at the point x, followed by the derivatives with respect to each parameter evaluated at x.

medfit(X, Y) – line with minimum absolute deviation from the x-y data points in the vectors X and Y. The result is a vector of length 3 containing the values a and b such that the minimizing line has the equation y = a + bx and the mean absolute deviation of the points from the computed line.

· решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши):

rkdumb(y, x1, x2, s, D) – solution to a system of n first-order differential equations, computed over the interval x1 to x2 in s equal steps using 4th order Runge-Kutta. The initial conditions are in the vector y and the array D gives the derivatives of the system components. The result is a matrix with the x values in the first column and the corresponding values of the solution components in the following columns.

BsstepR(y, x1, x2, acc, ht, hm, D, J, km, s) – solution to a system of n first-order differential equations, computed over the interval x1 to x2 using the Bulirsch-Stoer method with rational extrapolation. The initial conditions are in the vector y and the array D gives the derivatives of the system components. The result is a matrix with the x values in the first column and the corresponding values of the solution components in the following columns.

BsstepP(y, x1, x2, acc, ht, hm, D, J, km, s) – solution to a system of n first-order differential equations, computed over the interval x1 to x2 using the Bulirsch-Stoer method with polynomial extrapolation. The initial conditions are in the vector y and the array D gives the derivatives of the system components. The result is a matrix with the x values in the first column and the corresponding values of the solution components in the following columns.

Stiff(y, x1, x2, acc, ht, hm, D, J, km, s) – solution to a stiff system of n first-order differential equations, computed over the interval x1 to x2, computed by Rosenbrock methods. The initial conditions are in the vector y, the array D gives the derivatives of the system components, and the array J gives the Jacobian matrix. The result is a matrix with the x values in the first column and the corresponding values of the solution components in the following columns.

· решение краевой задачи:

shoot(v, x1, x2, D, load, score) – Initial conditions providing a solution to the two-point boundary value problem for a system of first-order differential equations. The starting and end points are x1 and x2 and the system derivatives are in the array D.

· решение дифференциальных уравнений в частных производных:

fred2(n, a, b, g, lambdaK) – solution for the Fredholm integral equation of the second kind; the integral is over the interval [a,b] with kernel lambdaK and added function g, and the answer is returned as a two-column array giving abscissas for n-point Gaussian quadrature and the value of the solution at these points.

fredin(x, n, a, b, g, lambdaK) – value at x of the solution of a Fredholm equation, computed by interpolating the n-point answer returned by the function fred2. The integral is over the interval [a,b] with kernel lambdaK and added function g.

voltra(n, m, a, h, g, K) – solution for a set of m linear Volterra equations of the second kind, with matrix kernel K and added vector function g. The starting point for the integrals is a, and n-1 steps of size h are taken.

sor(a, b, c, d, e, f, u, rjac) – solution of a second-order difference equation over a rectangular mesh, computed by relaxation. The matrices a b c d e and f define the differencing scheme, u contains the initial conditions, and rjac is the Jacobian radius.

---

[1] Если говорить о символьной математике (а ко многим встроенным функции Mathcad применимы аналитические преобразования – см. этюд 7), то термин «возвращают» тут совсем неуместен.

[2] Функции разбиты по группам согласно Мастеру функций (см. рис. 1.28). Некоторые функции (lsolve, например) упоминаются в нескольких группах.

[3] Они становятся встроенными с Mathcad после подгрузки соответствующего электронного учебника.