ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО sin x И cos x. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Элементарная математика

  Тригонометрия

  Радиус вектор точки. Угол в тригонометрии

 Понятие угла в тригонометрии

 Градусная и радианная меры углов

  Тригонометрические функции и их свойства

 Определение тригонометрических функций

 Значения тригонометрических функций

 Основные свойства тригонометрических функций

 Свойства функции y = sin x и ее график

 Свойства функции y = cos x и ее график

 Свойства функции y = tg x и ее график

 Свойства функции y = ctg x и ее график

  Основные формулы тригонометрии

 Основные тригонометрические тождества

 Тригонометрические функции суммы и разности углов (формулы сложения)

 Тригонометрические функции двойных и тройных углов

 Формулы понижения степени (тригонометрические функции половинных углов)

 Преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение

 Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму или разность

 Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

 Формулы приведения

  Обратные тригонометрические функции (аркфункции) и их свойства

 Арксинус и его график

 Арккосинус и его график

 Арктангенс и его график

 Арккотангенс и его график

 Значения обратных тригонометрических функций часто встречающихся углов

 Значения тригонометрических функций от аркфункций

  Решение тригонометрических уравнений

 Понятие тригонометрического уравнения

 Простейшие тригонометрические уравнения и формулы их решений

  Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции с одним и тем же аргументом

 Тригонометрические уравнения, рациональные относительно sin x и cos x. Универсальная подстановка

 Подстановка t = sin x

 Подстановка t = cos x

 Подстановка t = tg x

 Уравнения, линейные относительно sin x и cos x

 Уравнения, однородные относительно sin x и cos x

  Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции с разными аргументами

 Общие рекомендации к решению

 Уравнения, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю

 Метод сравнения аргументов

 Нестандартные приемы решения тригонометрических уравнений

  Простейшие тригонометрические неравенства

 Общая схема решения тригонометрических неравенств

    Рассмотрим  тригонометрические  уравнения  вида

                                                       (1)

 где   R (u, v)  –  дробно-рациональная  функция  от   переменных  u, v.
Общий метод решения таких уравнений основан на замене переменной

                                     (2)

      Используя  выражения  тригонометрических  функций  через  тангенс
половинного  аргумента,  будем  иметь

 При  этом  уравнение  (1)  преобразуется  к  виду

                                                  (3)

которое  является  дробно-рациональным  уравнением  относительно  t.  Оно сводится  (после  умножения  на  общий  знаменатель)  к  многочленному уравнению.  Найдя  корни   

уравнения  (3),  получим  простейшие  уравнения 

Решив  эти  уравнения,  найдем  корни  исходного  уравнения.
Замена  (2)  сужает  ОДЗ  исходного  уравнения  (1),  так  как  функция
   не  имеет  смысла  при
                             (4)

     Поэтому,  при  решении  уравнения  (1)  с  помощью  универсальной подстановки  (2)  можно  потерять  корни  (4).  Чтобы  этого  не  произошло, необходимо  с  самого  начала  проверить,  будут  ли  значения  (4)  переменной  x   корнями  уравнения  (1),  а  затем,  считая,  что  

применить  подстановку  (2).

       Универсальная  подстановка  (2)  может  привести  к  громоздким  выкладкам.  Поэтому,  по  возможности,  следует  использовать  другие  методы  решения  уравнения  (1). 

ПРИМЕР

© МЭИ (ТУ) 2007