Пусть A — квадратная матрица, E — единичная матрица той же размерности.
Целая положительная степень матрицы A определяется следующим образом:
A0 = E, A1 = A, An = An−1·A = A·An −1.
Пусть Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 — произвольный многочлен n-й степени.
Многочленом от матрицы A называется матрица
Pn(A) = anAn + an−1An−1 + ... + a1A + a0E.
Все алгебраические операции, определенные для многочленов, определены и для многочленов от матрицы. Кроме того, Pn(С −1·A·С) = С −1·Pn(A)·С.
Многочлены от матрицы — перестановочные матрицы: Pn(A)·Qm(A) = Qm(A)·Pn(A).
Если Pn(λ) — характеристический многочлен матрицы A, то Pn(A) = Θ. Здесь Θ — нулевая матрица.