СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Линейная алгебра

  Матрицы и определители

  Матрицы

 Матрицы

 Линейные операции с матрицами

 Определитель матрицы

 Умножение матриц

 Обратная матрица

 Элементарные преобразования матрицы

 Ранг матрицы

 Многочлен от матрицы

 Нормы матрицы

  Определители

 Определители

 Свойства определителей

 Миноры и алгебраические дополнения

 Критерий равенства нулю определителя

 Вычисление определителей

 Правило Крамера

  Линейные пространства

 Определение линейного пространства

 Пространство арифметических векторов Rn

 Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

 Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

 Критерий линейной зависимости системы векторов линейного пространства

 Базис линейного пространства

 Размерность линейного пространства

 Координаты вектора линейного пространства в заданном базисе

 Преобразование координат вектора при изменении базиса

 Линейные подпространства

 Изоморфные линейные пространства

  Евклидовы пространства

 Определение евклидова пространства

 Свойства скалярного произведения

 Неравенство Коши-Буняковского

 Измерения в линейном пространстве

 Ортонормированные системы векторов

 Ортонормированный базис

 Скалярное произведение в координатах

 Полезные соотношения

 Ортогональные подпространства

 Ортогональные матрицы

  Линейные операторы

 Определение линейного оператора

 Действия с операторами

 Матрица линейного оператора

 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

 Свойства собственных векторов линейного оператора

 Характеристический многочлен

  Системы линейных уравнений

 Основные понятия

 Элементарные преобразования линейной системы

 Критерий совместности линейной системы

 Свойства решений линейной системы

 Метод Гаусса приведения системы к каноническому виду

 Нетривиальная совместность однородной линейной системы

 Фундаментальная система решений

 Структура общего решения однородной линейной системы

 Структура общего решения неоднородной линейной системы

  Квадратичные формы

  Билинейная форма

 Матрица билинейной формы

 Представление билинейной формы в паре базисов

  Квадратичная форма

 Матрица квадратичной формы

 Закон инерции квадратичных форм

  Знакоопределённые матрицы

 Положительно определённая матрица

 Свойства положительно определённых матриц

 Критерий положительной определённости матрицы

 Квадратный корень из матрицы

  Численные методы линейной алгебры

  Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений

 Метод Гаусса с частичным выбором ведущего элемента

 Метод Гаусса с выбором ведущего элемента

  Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

 Метод простых итераций

 Метод Зейделя

 Метод релаксации

 Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений

 Метод квадратного корня

 Метод прогонки

 QR-разложение матрицы

 Сингулярное разложение матрицы

 Степенной метод вычисления наибольшего собственного значения

 Метод обратных итераций

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x1, x2, ..., xn-1, xn называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа aijкоэффициенты системы, biправые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей bi системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:


Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A(1)x1 + A(2)x2 + ... + A(n)xn = b.

Здесь  A(1), A(2), ... , A(n) — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Подробнее Примеры Решить свою задачу
© МЭИ (ТУ) 2007