Высшая математика

Пусть A — линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве X, λ _i— собственное значение оператора A, а e_i — соответствующий собственный вектор: A(e_i ) = λ _ie_i, e_i ≠ 0, e_i ∈X.

Или пусть A — матрица оператора A, или произвольная квадратноя матрица, λ _i— собственное значение матрицы A, а e_i — соответствующий собственный вектор: A·e_i = λ _ie_i,e_i ≠ 0, e_i ∈X.

— Если λ₁, λ₂, ..., λ_n — собственные значения матрицы A, то tr A = a₁₁+ a₂₂+...+ a_nn = λ₁ + λ₂ + ...+ λ_n.

— Если λ₁, λ₂, ..., λ_n — собственные значения матрицы A, то det A = λ₁ · λ₂ · ...· λ_n.

— Собственные значения λ _i являются корнями характеристического уравнения det(A −λE) = 0.

— Оператор A (матрица A) имеет не более n различных собственных значений.

— Собственные значения матриц A и A^T совпадают.

— Если матрица A обратима, то все её собственные значения отличны от нуля, λ _i≠ 0; при этом собственными значениями обратной матрицы A^{− 1} являются числа (λ _i)^{− 1}, а соответствующие собственные векторы совпадают.

— Если число λ — собственное значение матрицы A, то собственным значением матрицы A^k является число λ^k , а соответствующие собственные векторы совпадают.

— Собственные значения подобных матриц A и C^{− 1}·A·C совпадают. Здесь C — невырожденная матрица.

— Собственный вектор, отвечающий собственному значению λ _i является ненулевым решением линейной однородной системы (A −λE)· x = 0, x≠ 0, x ∈ X.

— Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

— Если линейный оператор A имеет n различных собственных значений, то соответствующие собственные векторы образуют базис пространства X, который называется собственным базисом линейного оператора.

— Если линейный оператор имеет собственный базис, то матрица оператора в собственном базисе имеет диагональный вид; диагональными элементами являются собственные значения оператора.

— Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.