Высшая математика

Евклидово пространств En — пространство арифметических векторов Rn с определённым в нём через естественный базис скалярным произведением.

Матрица A называется знакоопределённой, если для всех x ≠ 0, x ∈ En, скалярное произведение (Ax,x) сохраняет знак: (Ax,x) > 0,  (Ax,x) ≥ 0,  (Ax,x) < 0,  (Ax,x) ≤ 0.

Или, что то же самое, матрица A называется знакоопределённой, если для всех x ≠ 0, x ∈ Rn сохраняет знак произведение x^TAx: x^TAx > 0,  x^TAx ≥ 0,  x^TAx < 0,  x^TAx ≤ 0.

Если матрицы A и B одинаково знакоопределённы, и числа α ≥ 0 и β ≥ 0 одновременно не равны нулю, то матрица αA + βB тоже знакоопределёна.

Например, если (Ax,x) > 0, (Bx,x) > 0, α > 0 и β > 0, то ((αA + βB)x,x) > 0.