ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
|
|||||||
|
|||||||
Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида F (x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n)(x)) = 0, где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.
y(n) = f(x, y, y ', y '', … , y(n − 1)). Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, x>x0, удовлетворяющего условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1.
Условия y(x0) = y0, y '(x0) = y1, y ''(x0) = y2, … , y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.
Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0, называется частным решением.
Общим решением дифференциального уравнения F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y(n )(x)) = 0 называется функция y = Ф(x, С1, С2, … , Сn), содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:
Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения. Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок. Для решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, применяются приближенные или численные методы. Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений, развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования уравнений.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |