ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Высшая математика

  Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия

 Системы ОДУ. Основные понятия

 Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

  ОДУ 1-го порядка

  ОДУ 1-го порядка. Методы решения

 Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия

 Уравнения с разделяющимися переменными

 Однородные уравнения 1-го порядка

 Уравнения, приводящиеся к однородным

 Линейные уравнения 1-го порядка

 Уравнения Бернулли

 Уравнения в полных дифференциалах

  ОДУ 1-го порядка. Поведение решений

 Теорема существования и единственности решения задачи Коши

 Уравнения 1-го порядка. Поле направлений

 Автономные уравнения 1-го порядка

 Устойчивость решений ОДУ 1-го порядка

 Асимптотическая устойчивость решений ОДУ 1-го порядка

  Приближённые методы решения

 Метод изоклин

 Метод Эйлера

  ОДУ высших порядков

  ОДУ высших порядков. Понижение порядка

 Понижение порядка ОДУ. Введение

 Уравнения, не содержащие независимой переменной

 Уравнения, не содержащие искомой функции

 Уравнения с однородной правой частью

  Линейные ОДУ n-го порядка

 Линейные ОДУ n-го порядка. Введение

 Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции

 Существование и единственность решения задачи Коши

 Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания

 Линейные уравнения 2-го порядка. Ангармонические колебания

 Линейные уравнения 2-го порядка. Уравнение Ньютона

  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

 Линейная зависимость и линейная независимость системы функций

 Определитель Вронского

 Исследование линейной независимости системы функций

 Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения

  Структура решения линейного ОДУ n-го порядка

 Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения

 Структура общего решения линейного однородного уравнения

 Структура общего решения линейного неоднородного уравнения

 Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения

  Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами

 Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами

 Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения

 Уравнение Эйлера

  Системы дифференциальных уравнений

 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия

 Фазовое пространство Фазовые траектории

 Существование и единственность решения задачи Коши

 Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения

  Линейные системы OДУ. Структура решения

 Линейные системы ОДУ. Основные понятия

 Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений

 Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений

 Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений

 Построение фундаментальной матрицы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера

  Системы ОДУ. Поведение решений

 Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

 Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову

 Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ

 Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению

 Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем

  Автономные системы дифференциальных уравнений

 Автономные системы. Основные понятия

 Свойства фазовых траекторий

 Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка

 Векторное поле автономной системы 2-го порядка

 Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами

  Численные методы решения ОДУ

 Метод Эйлера

 Методы Рунге-Кутты

 Многошаговые методы

 Жёсткие системы. Методы численного решения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (xy(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n)(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (ab), если она n раз дифференцируема на (ab) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

y(n) = f(xyy ',  y '',  …  , y(n − 1)).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

 

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x0) = y0,  y '(x0) = y1y ''(x0) = y2,  …  , y(n − 1)(x0) = yn − 1.

 

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения

F(xy(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n )(x)) = 0,    x>x0,

удовлетворяющего условиям

y(x0) = y0,  y '(x0) = y1y ''(x0) = y2,  …  , y(n − 1)(x0) = yn − 1.

 

Условия   y(x0) = y0,  y '(x0) = y1y ''(x0) = y2,  …  , y(n − 1)(x0) = yn − 1 называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

 

Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(xy(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n )(x)) = 0, называется частным решением.

 

Общим решением дифференциального уравнения

F(xy(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n )(x)) = 0

называется функция

y = Ф(x,  С1, С2, … , Сn),

содержащая некоторые постоянные (параметры) С1, С2, … , Сn, и обладающая следующими свойствами:

  1. Ф(x, С1, С2,  … , Сn) является решением уравнения при любых допустимых значениях С1, С2, … , Сm;
  2. для любых начальных данных  y(x0) = y0,  y '(x0) = y1y ''(x0) = y2,  …  , y(n − 1)(x0) = yn − 1, для которых задача Коши имеет единственное решение,
  3. существуют значения постоянных С1 = A1, С2 = A2,  … , Сn = An, такие что решение y = Ф(x, A1, A2,  …, An) удовлетворяет заданным начальным условиям.
Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(xy) = 0 или G(xy, С1,  С2,  ..., Сn) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

 

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к алгебраическим операциям и к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, то уравнение называется интегрируемым в квадратурах. Класс таких уравнений относительно узок.

Для решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, применяются приближенные или численные методы.

Задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений — исследование общих свойств решений, развитие точных, асимптотических и численных методов интегрирования уравнений.

  Примеры  
© МЭИ (ТУ) 2007