Рассмотрим автономную систему   x' = F(x) с непрерывно дифференцируемой правой частью.

Уравнение x = φ(t) —   t ∈ [a, b] — параметрическое уравнение фазовой траектории системы.

Важнейшим свойством решений автономных систем является следующее:

если вектор–функция x = φ(t) — решение автономной системы, то при любой постоянной C вектор–функция x = φ(t + C) тоже является решением системы.

Свойства фазовых траекторий.

1. Две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Это свойство фазовых траекторий означает, что фазовое пространство "расслаивается" на непересекающиеся фазовые траектории.

2. Если a — точка равновесия автономной системы, то x = a — фазовая траектория системы. Положение равновесия называют точкой покоя автономной системы.

3. Фазовая траектория, отличная от точки — гладкая кривая (в каждой точке этой кривой существует ненулевой касательный вектор).

4. Пусть x( t ; x( 0 ) ) — решение задачи Коши   x' = F(x),     x( 0 ) = x^{( 0 )} . Тогда      

x( t₁ + t₂ ; x^{( 0 )}) = x( t₂ ; x( t₁ ; x^{( 0 )} ) = x( t₁ ; x( t₂ ; x^{( 0 )}) и   x( − t ; x(t ; x^{( 0 )})) = x^{( 0 )} .

Полную информацию о свойствах решений системы дают интегральные кривые. Однако во многих приложениях достаточно информации, которую дают фазовые траектории.

Более того, некоторые свойства решений ярче проявляются при исследовании фазовых траекторий (фазового пространства системы).