| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ 1-го порядка. Методы решения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
ОДУ 1-го порядка. Поведение решений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Уравнения 1-го порядка. Поле направлений
Автономные уравнения 1-го порядка
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Понижение порядка ОДУ. Введение
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Линейные ОДУ n-го порядка. Введение
Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции
Существование и единственность решения задачи Коши
Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Исследование линейной независимости системы функций
Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения
Структура общего решения линейного однородного уравнения
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Фазовое пространство Фазовые траектории
Существование и единственность решения задачи Коши
Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения
Линейные системы OДУ. Структура решения
Линейные системы ОДУ. Основные понятия
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений
Системы ОДУ. Поведение решений
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ
Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению
Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем
Автономные системы дифференциальных уравнений
Автономные системы. Основные понятия
Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка
Векторное поле автономной системы 2-го порядка
Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Любая система дифференциальных уравнений описывает с определенной степенью точности реальный физический процесс.
Приборы, фиксирующие то или иное физическое явление, не совершенны. Может оказаться, что малая погрешность измерения начальных данных вызывает ”ощутимые” изменения решений уравнений. В этой ситуации нельзя гарантировать, что выбранная математическая модель реально отражает описываемое ею физическое явление.
И, наоборот, если малые возмущения начальных условий мало изменяют решения на всем промежутке их существования, то соответствующую математическую модель следует признать удачной.
Так возникает важный для приложений вопрос: при каких условиях, математическая модель, описываемая системой дифференциальных уравнений, будет устойчивой.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t0.
Решение x = φ(t) системы называется устойчивым по Ляпунову при t ≥ t0 , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:
— решение x = x(t) задачи Коши с начальным условием x(t0) , | x(t0) − φ(t0) | < δ , существует при всех t ≥ t0 ;
— для всех таких решений справедливо неравенство | x(t0) − φ(t0) | < δ , при всех t ≥ t0 .
Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t0 к интегральной кривой x = φ(t), остаются близкими к ней и на всем промежутке [t0 , ∞) .
Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие устойчивым решениям, тоже называются устойчивыми.
На рисунке чёрным изображена устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (1, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории.
Решение x = φ(t) называется неустойчивым по Ляпунову при t ≥ t0 , если оно не является устойчивым по Ляпунову, т.е. если существует такое число ε > 0, что для любого δ > 0 найдутся решения x = xδ(t) и такое t1= t1(δ), что | xδ(t0) − φ(t0) | < δ и | xδ(t) − φ(t) | ≥ ε.
Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t0 к интегральной кривой x = φ(t) , "удаляются" от неё при t → ∞.
Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие яеустойчивым решениям, тоже называются неустойчивыми.
На рисунке чёрным изображена неустойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.2, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории.
| Пример |