Любая система дифференциальных уравнений описывает с определенной степенью точности реальный физический процесс.

Приборы, фиксирующие то или иное физическое явление, не совершенны. Может оказаться, что малая погрешность измерения начальных данных вызывает ”ощутимые” изменения решений уравнений. В этой ситуации нельзя гарантировать, что выбранная математическая модель реально отражает описываемое ею физическое явление.

И, наоборот, если малые возмущения начальных условий мало изменяют решения на всем промежутке их существования, то соответствующую математическую модель следует признать удачной.

Так возникает важный для приложений вопрос: при каких условиях, математическая модель, описываемая системой дифференциальных уравнений, будет устойчивой.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть некоторое фиксированное решение x = φ(t) этой системы существует при всех t ≥ t₀.

Решение x = φ(t) системы называется устойчивым по Ляпунову при  t ≥ t₀ , если для любого ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:

— решение x = x(t) задачи Коши с начальным условием x(t₀) , | x(t₀) − φ(t₀) | < δ , существует при всех  t ≥ t₀ ;

— для всех таких решений справедливо неравенство | x(t₀) − φ(t₀) | < δ , при всех  t ≥ t₀ .

Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t₀ к интегральной кривой x = φ(t), остаются близкими к ней и на всем промежутке [t₀ , ∞) .

Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие устойчивым решениям, тоже называются устойчивыми.

На рисунке чёрным изображена устойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (1, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории.

Решение x = φ(t) называется неустойчивым по Ляпунову при  t ≥ t₀ , если оно не является устойчивым по Ляпунову, т.е. если существует такое число ε > 0, что для любого δ > 0 найдутся решения x = x_δ(t) и такое t₁= t₁(δ), что | x_δ(t₀) − φ(t₀) | < δ и | x_δ(t) − φ(t) | ≥ ε.

Геометрически это означает, что интегральные кривые x = x(t), близкие в момент t = t₀ к интегральной кривой x = φ(t) , "удаляются" от неё при t → ∞.

Интегральные кривые и фазовые траектории, отвечающие яеустойчивым решениям, тоже называются неустойчивыми.

На рисунке чёрным изображена неустойчивая фазовая траектория, некой системы дифференциальных уравнений второго порядка, которая начинается в точке (0.2, 0), и две, начинающиеся вблиз неё траектории.

Пример