| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ 1-го порядка. Методы решения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
ОДУ 1-го порядка. Поведение решений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Уравнения 1-го порядка. Поле направлений
Автономные уравнения 1-го порядка
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Понижение порядка ОДУ. Введение
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Линейные ОДУ n-го порядка. Введение
Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции
Существование и единственность решения задачи Коши
Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Исследование линейной независимости системы функций
Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения
Структура общего решения линейного однородного уравнения
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Фазовое пространство Фазовые траектории
Существование и единственность решения задачи Коши
Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения
Линейные системы OДУ. Структура решения
Линейные системы ОДУ. Основные понятия
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений
Системы ОДУ. Поведение решений
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ
Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению
Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем
Автономные системы дифференциальных уравнений
Автономные системы. Основные понятия
Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка
Векторное поле автономной системы 2-го порядка
Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка с правой частью f(x, y), определённой в области D ⊂ R2:
Здесь x независимая переменная (аргумент), y = y(x) неизвестная функция.
Если y = y(x) решение уравнения, то соответствующая интегральная кривая (график решения y = y(x)) в каждой своей точке (x, y(x)) имеет касательную с угловым коэффициентом
Через каждую точку (x, y) области D ⊂ R2 можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k .
Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоуголной сетки в области D ⊂ R2 , получим изображение поля направлений.
Если узлы сетки расположены “достаточно часто“ поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых.
На рисунках приведены изображение поля направлений и изображение поля направлений с несколькими интегральными кривыми.
Рассмотрев внимательно рисунки, можно увидеть, что отрезки, изображающие поле направлений действительно указывают направление касательных к интегральным кривым.
Можно видеть, что “аккуратно“ изображенное поле направлений дает достаточно полное представление о поведении интегральных кривых.
В инженерных задачах для того чтобы сформулировать содержательные утверждения об исследуемом процессе, бывает достаточно внимательно изучить поле направлений.
Дифференциальное уравнение задает поле направлений, которое позволяет судить о наиболее характерных особенностях поведения решений уравнения.
| Примеры | Решить свою задачу |