СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
|
|||||
|
|||||
Система обыкновенных дифференциальных уравнений n –го порядка может быть записана в канонической форме:
в нормальной форме
или в векторной форме
Здесь При описании систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной формой записи.
Решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений Y ' = F(x,Y) называется вектор–функция Y(x) = Φ(x) , которая определена и непрерывно дифференцируема на промежутке (a; b) и удовлетворяет системе Y ' = F(x,Y) на этом промежутке. Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется следующая задача: найти решение Y(x) системы Y ' = F(x,Y) такое, что Y(x0) = Y0 . Здесь Частным решением системы дифференциальных уравнений называется решение какой–нибудь ее задачи Коши. Вектор–функция Y = Y(x, C) = Y(x, C1,C2, … , Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,C2, … , Cn называется общим решением системы дифференциальных уравнений на [a; b] , если: — при любых допустимых значениях постоянных C1,C2, … , Cn функция Y(x, C) является решением системы на [a;b] ; — какова бы ни была начальная точка (x0, Y0) из области определения правой части системы, существуют такие значения C*1,C*2, … , C*n постоянных C1, C2, … , Cn , что функцияY(x, C*1,C*2, … , C*n ) является решением задачи Коши Y(x0) = Y0 . Пусть Y(x) = Φ(x) — решение системы, определенное на [a, b] . Тогда множество точек {Φ(x)}, x ∈ [a, b] — кривая в пространстве Rn . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rn , в котором расположены фазовые траектории, фазовым пространством системы. Пусть Y(x) = Φ(x) — решение системы Y ' = F(x,Y) , определенное на [a,b] . Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Φ(x) и изображается в (n + 1)–мерном пространстве Rn+1 Фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rn.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |