МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ ПОСТРОЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
|
||||
|
||||
Задача состоит в вычислении какого–либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x). с нерерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью. Предположим, что известна фундаментальная система y1(x), y2(x),..., yn(x) решений соответствующего однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) , где C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения. Справедливо следующее утверждение. Пусть y1(x), y2(x),..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде y*(x) = y(x,C1,..., Cn) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) . Неизвестные функции C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) находятся из системы
Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |