РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
|
||||
|
||||
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0. Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа. Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx). Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение: y(x) = exp(λx), y'(x) = λexp(λx), y''(x) = λ2exp(λx),... , yn(x) = λnexp(λx), λnexp(λx) + an-1λn-1exp(λx) + ... + a1λexp(λx) + a0exp(λx) = 0, exp(λx)(λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0) = 0. Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0. Уравнение λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени Pn(x) = λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 называется характеристическим многочленом уравнения. Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера). Для того чтобы функция y(x) = exp(λ0x) была решением уравнения y(n) + an-1y(n - 1) + ... + a1y' + a0y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ0 было корнем характеристического уравнения λn + an-1λn-1 + ... + a1λ + a0 = 0.Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение. Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид: y(x) = C1exp(λ1x) + C2exp(λ2x)+ ...+ Cnexp(λnx).
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |