| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами, могут быть простыми и кратными.
Справедливы следующие утверждения.
Если числа λ1≠ λ2≠ ... ≠ λn — различные действительные корни характеристического уравнения , то функции
exp(λ1x), exp(λ2x), ..., exp(λnx) образуют фундаментальную систему решений уравнения.
Если λ = λ0 — действительный корень характеристического уравнения кратности r, то r функций
exp( λ0x), xexp( λ0x), x2exp( λ0x), ..., xr-1exp( λ0x) — линейно независимые решения уравнения.
Если λ = λ0 = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения, то функции
exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.
Если λ = λ0 = α ± βi — комплексно сопряженная пара корней характеристического уравнения кратности r , то 2r функций
exp( α x)cos(βx), exp( α x)sin(βx), xexp( α x)cos(βx), xexp( α x)sin(βx), ..., xr-1exp( α x)cos(βx), xr-1exp( α x)sin(βx) — линейно независимые решения уравнения.
| Примеры |