УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
|
||||
|
||||
Уравнением Эйлера называется однородное дифференциальное уравнение вида xny(n) + an-1xn-1y(n - 1) + ... + a1xy' + a0y = 0. Коэффициенты an-1, ... , a1, a0 — постоянные десйствительные числа. Если функция y(x) — решение уравнения Эйлера, то функция Cy(x) тоже является решением уравнения. Уравнение Эйлера заменой x = et сводится к однородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Выполним замену x = et, перейдём к новой переменной t = ln x :
Здесь αij — коэффициенты, которые легко вычисляются при последовательном дифференцировании. После подстановки в уравнение имеем: Решим это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами — его общее решение g = g(t,C1, C2, ... ,Cn). Вернувшись к переменной x, получим общее решение уравнения Эйлера: y(x,C1, C2, ... ,Cn) = g(lnx,C1, C2, ... ,Cn).
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |