МЕТОД ИЗОКЛИН ПРИБЛИЖЁННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
|
||||
|
||||
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка
Пусть y = y(x) решение уравнения. Интегральная кривая y = y(x) имеет касательную с угловым коэффициентом k = f(x, y(x)). Это означает, что через каждую точку (x, y) области определения функции f(x, y) можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k = f(x, y(x)). Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения , получим изображение поля направлений.Когда узлы сетки расположены "достаточно часто" поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых. Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка. Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f(x, y) = k, k = const. Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y' = f(x, y). Равенство f(x, y) = k — уравнение изоклины.В каждой точке (x, y) изоклины f(x, y) =k интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrctg(α) = k. Метод изоклин состоит в следующем.Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k. Затем, начиная из точки (x0, y0), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку (x0, y0).
На рисунке изображены изоклины для k = 1,2, … ,15,16 и интегральная кривая, проходящая через точку (0,0) .
Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую. Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых. Например, изоклина f(x, y) = 0 — геометрическое место стационарных точек решения дифференциального уравнения, изоклины f(x, y) = k с большими значениями k показывают области быстрого роста решений и т.п. На рисунке показано, как помогают изоклины "увидеть" точки экстремума интегральной кривой и судить о поведении решений дифференциального уравнения.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |