АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
|
||||
|
||||
В векторной форме автономная система имеет вид x' = F(x) (не зависит от t), где
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами. Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Пусть x = φ(t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ(t) , t ∈ [a, b] — кривая в пространстве Rxn . Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rxn , в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы. Точка a называется положением равновесия ( точкой покоя) автономной системы, если F(a) = 0 .
Равенство x = φ(t) , t ∈ [a, b] — параметрические уравнения фазовой траектории. Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве Rx, tn+1 и может быть определена уравнениями Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство Rx.На рисунке приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |