Если задачу об отыскании решений дифференциального уравнения удаётся свести к конечному числу алгебраических операций, операций дифференцирования и интегрирования известных функций, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируется в квадратурах.

В приложениях крайне редко встречаются уравнения. интегрируемые в квадратурах. Для исследования и решения уравнений, которые не интегрируются в квадратурах, используются численные методы решения задачи Коши.

Численное решение задачи Коши y' = f(x, y), y(a) = y₀ на отрезке [a, b] состоит в построении таблицы приближённых значений y₀, y₁, ..., y_i, ..., y_N решения y = y(x), y(x_i) ≈ y_i ,

в узлах сетки a = x₀< x₁< ...< x_i< ...< x_N = b. Если x_i = a + ih, h = (b-a)/N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера.  В методе Эйлера величины y_i вычисляются по формуле: y_i+1 = y_{i + h·f(xi, yi):}

y' = f(x, y),  y(a) = y₀ , x ∈ [a, b],

x_i = a + ih, h = (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,  

y(x_i)≈ y_i ,

y_i+1 = y_i + h·f(x_i, y_i).

Для погрешности метода Эйлера на одном шаге справедлива оценка

а для оценки погрешности решения на всём отрезке [a, b] справедливо

Для практической оценки погрешности можно рекомендовать правило Рунге:производятся вычисления с шагом h — вычисляютcя значения y^(h)_i, затем производятся вычисления с половинным шагом h/2 — вычисляютcя значения y^(h/2)_i .

За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину

Если соединить точки (x_i, y_i) прямолинейными отрезками, получим ломаную Эйлера — ломаную линию, каждое звено которой с началом в точке (x_i, y_i) имеет угловой коэффициент, равный f(x_i, y_i).