СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
|
||||
|
||||
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n–го порядка или Задачей Коши для для этой системы называется следующая задача: найти такое решение Y = Y(x) системы Y' = F(x,Y), что Y(x0)=Y0, где Y0 — некоторый постоянный вектор.
Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения задачи Коши. Теорема Коши. Пусть в области D из Rn+1 непрерывны все компоненты вектора правой части F(x,Y) и их частные производные по Y:
Тогда, какова бы ни была начальная точка (x0,Y0) ≡ (x0,y1, 0 ,y2, 0, … ,yn, 0 ) ∈ D , существует такой отрезок [x0 − h; x0 + h] , что задача Коши Y' = F(x,Y), что Y(x0)=Y0 имеет единственное решение.
Важно понимать, что теорема Коши имеет локальный характер: существование решения Y = Y(x) гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки x0 , ( h > 0 может оказаться достаточно малым). Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |