Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений

Здесь

Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Положим также, что при t ≥ t₀ существует некоторое решение системы x = φ(t).

Точка x ≡ a называется точкой покоя (положением равновесия) системы x' = F(t,x), если F(t,a) = 0 при всех t ≥ t₀. Точка покоя системы очевидно является решением системы.

Поскольку F(t,x) непрерывно дифференцируема и F(t,a) = 0, то при всех t ≥ t₀, можно записать:

Обозначив

получим

Системой первого (линейного) приближения для системы x' = F(t,x), называется линейная система

Очевидно, что тривиальное решение z ≡ 0 — точка покоя этой системы. Оказывается, что если точка покоя z ≡ 0 системы первого приближения асимптотически устойчива при t → ∞, то точка покоя x ≡ a системы x' = F(t, x) также асимптотически устойчива при t → ∞.

Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема об устойчивости точки покоя по линейному приближению.

Пусть x ≡ a — точка покоя системы x' = F(t, x). Пусть F(t, x) = A(t)·z + R(t, z), z = x − a. Вектор-функция R(t, z)  непрерывно дифференцируема при t ≥ t₀ , | z | < ρ и R(t, z) = ο(| z |) при | z | → 0, равномерно по t при t ≥ t₀.

Если матрица A(t) = A постоянная матрица, действительные части всех собственных значений которой отрицательны, то точка покоя x ≡ a системы x' = F(t, x) асимптотически устойчива. При этом если | x(0) - a | достаточно мало, то при t ≥ t₀ справедлива оценка | x(t) - a | ≤ C · exp(−α(t - t₀)), α > 0, C> 0.