ТОЧКИ ПОКОЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
|
||||
|
||||
Рассмотрим линейную автономную систему 2-го порядка с постоянными коэффициентами x' = A·x :
Такая система имеет единственную точку покоя x ≡ 0, x=0, y=0, (0, 0). Характер точки покоя (её устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по собственным значениям λ1, λ2 матрицы системы A.
Если λ1, λ2 — разные действительные отрицательные числа, то точка покоя асимптотически устойчива, такая точка покоя называется устойчивый узел. На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности устойчивого узла.
Если λ1, λ2 — разные действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива, такая точка покоя называется неустойчивый узел. На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности неустойчивого узла.
Если λ1, λ2 — действительные числа разных знаков, то точка покоя неустойчива, такая точка покоя называется седло. На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности седла.
Если λ1, λ2 — комплексные числа, λ1,2= Reλ ± iImλ, и Reλ ≤ 0, то точка покоя устойчива.
Если λ1= λ2 ≠ 0 — действительные положительные числа, то точка — узел специального вида — диакритический узел;
На рисунке приведен фрагмент фазового портрета в окрестности устойчивого диакритического узла.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |