ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
|
|||
|
|||
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0. Справедливо следующее необходимое и достаточное условие линейной независимости решений этого уравнения. Решения y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W(x ; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a; b] . Для определителя Вронского
W(x ; y1(x), y2(x), ..., yn(x))
решений
y1(x), y2(x), ..., yn(x)
линейного однородного дифференциального уравнения
с непрерывными на
[a; b]
коэффициентами, справедлива
формула Остроградского–Лиувилля:
Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует: − если
W(x0 ; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) = 0, x0∈[a, b], то W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ≡ 0 на [a, b];
− если же
W(x0 ; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ≠ 0, x0∈[a, b], то W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ≠0 на [a, b].
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |