НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ ТОЧКИ ПОКОЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОДУ
|
||||
|
||||
Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений
Здесь Полагаем, что выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Пусть x ≡ a — точка покоя системы.
Предположим, что системой первого (линейного) приближения для системы x' = F(t,x), называется линейная система Здесь Оказывается, что о неустойчивости точки покоя нелинейной системы можно судить по неустойчивочти точки пококя её линейной системы первого приближения.
Точнее, справедливо следующее утверждение. Теорема о неустойчивости точки покоя по линейному приближению. Пусть x ≡ a — точка покоя системы x' = F(t, x). Пусть F(t, x) = A(t)·z + R(t, z), z = x − a. Вектор-функция R(t, z) непрерывно дифференцируема при t ≥ t0 ,|z | < H и R(t,z) ≤ C | z |α. Если A(t) = A постоянная матрица и если неустойчива точка покоя z ≡ 0 системы первого приближения z' = A·z, то неустойчива и точка покоя x ≡ a системы x' = F(t, x).
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |