СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ОДУ
|
||||
|
||||
Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0. Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям : − при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
−
какова бы ни была начальная точка
(x0, y0, y1,0 ,...,
yn − 1,0 )
,
x0∈ [a;b]
,
существуют такие значения
C1 =C10 , ...,
Cn =
Cn0
, что функция
y = Φ(x, C10 , ...,
Cn0)
удовлетворяет начальным условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,...,
y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения). Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x), где C1,...,Cn — произвольные постоянные.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |