АСИМПОТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
|
||||
|
||||
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Пусть некоторое фиксированное решение y = φ(x) этого уравнения существует при всех x≥ x0 .
Решение y = φ(x) уравнения называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при x → ∞ , если — это решение устойчиво по Ляпунову при x ≥ x0 ; — для любого δ > 0 и для всех решений y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x0 ) , |y(x0) − φ(x0) | < δ , разность |y(x) − φ(x) | → 0 при x → ∞ .
Геометрически это означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие в момент x = x0 к интегральной кривой y = φ(x), становятся как угодно близкими к ней при x → ∞ . На рисунке красным изображено асимптотически устойчивое решение задачи Коши y' = − y, y(1) = 1. Видно, что все интегральные кривые, близкие к этому решениюв начальный момент x = 1, с ростом x приближаются к графику асимптотически устойчивого решения.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |