| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ 1-го порядка. Методы решения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
ОДУ 1-го порядка. Поведение решений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Уравнения 1-го порядка. Поле направлений
Автономные уравнения 1-го порядка
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Понижение порядка ОДУ. Введение
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Линейные ОДУ n-го порядка. Введение
Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции
Существование и единственность решения задачи Коши
Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Исследование линейной независимости системы функций
Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения
Структура общего решения линейного однородного уравнения
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Фазовое пространство Фазовые траектории
Существование и единственность решения задачи Коши
Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения
Линейные системы OДУ. Структура решения
Линейные системы ОДУ. Основные понятия
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений
Системы ОДУ. Поведение решений
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ
Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению
Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем
Автономные системы дифференциальных уравнений
Автономные системы. Основные понятия
Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка
Векторное поле автономной системы 2-го порядка
Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Если дифференциальное уравнение
F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0
содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.
Такое уравнение в нормальной форме имеет вид
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ).
Пусть D область определения функции f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ), D из Rn + 1 . Функция y = y(x) называется решением уравнения n–го порядка на отрезке [a; b] , если:
− при всех x ∈ [a; b] точка (x, y(x), y '(x) ,..., y(n −1) ) принадлежит области D;
− y = y(x) дифференцируема n раз на [a; b] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество y(n)(x) ≡ f (x, y(x), y '(x), ..., y(n - 1) (x) ).
График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.
Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n –го порядка таких условий должно быть n.
Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n–го порядка
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) )
называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y10, ..., y(n - 1) (x0) = y(n - 1)0 .
Здесь (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) фиксированная точка области D.
Любое фиксированное решение y = φ(x) — решение некоторой задачи Коши — называется частным решением уравнения .
Общим решением уравнения n –го порядка называется функция y = φ(x,C1,..., Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим требованиям:
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = φ(x,C1,..., Cn) является решением уравнения на [a;b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C1*,..., Cn* такие, что функция y = φ(x,C1*,..., Cn*) удовлетворяет начальным условиям
φ(x0,C1*,..., Cn*) = y0 , φ '(x0,C1*,..., Cn*) = y10, ..., φ(n - 1)(x0,C1*,... , Cn*) = y(n - 1)0 .
Равенство Φ(x,C1,..., Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения n –го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения .
Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.
К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида
Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка:
Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле
Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид
| Примеры |