| ОГЛАВЛЕНИЕ | ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
Высшая математика
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия
Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ
ОДУ 1-го порядка. Методы решения
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения, приводящиеся к однородным
ОДУ 1-го порядка. Поведение решений
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Уравнения 1-го порядка. Поле направлений
Автономные уравнения 1-го порядка
ОДУ высших порядков. Понижение порядка
Понижение порядка ОДУ. Введение
Уравнения, не содержащие независимой переменной
Линейные ОДУ n-го порядка. Введение
Свойства решений линейного уравнения. Принцип суперпозиции
Существование и единственность решения задачи Коши
Линейные уравнения второго порядка. Гармонические колебания
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций
Исследование линейной независимости системы функций
Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения
Структура решения линейного ОДУ n-го порядка
Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения
Структура общего решения линейного однородного уравнения
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения
Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами
Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения
Системы дифференциальных уравнений
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные понятия
Фазовое пространство Фазовые траектории
Существование и единственность решения задачи Коши
Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения
Линейные системы OДУ. Структура решения
Линейные системы ОДУ. Основные понятия
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений
Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений
Системы ОДУ. Поведение решений
Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений
Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ
Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению
Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем
Автономные системы дифференциальных уравнений
Автономные системы. Основные понятия
Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка
Векторное поле автономной системы 2-го порядка
Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:
Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ⊂ R2 .
Функция y = y(x) является решением задачи Коши
если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ∈ D для всех x из [a, b] , y(x0) = y0 , x0∈[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:
Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Пусть функция f(x, y) и ее частная производная fy(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x0, y0) принадлежит области D.
Тогда :
— в некоторой окрестности (x0 − δ, x0 + δ) точки x0 существует решение задачи Коши
— если y = φ1(x) и y = φ2(x) два решения задачи Коши, то φ1(x) = φ2(x) на (x0 − δ, x0 + δ) .
Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x0, y0) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.
Бесконечное множество решений уравнения
можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x0) — семейство решений задачи Коши
элементы которого различны для разных значений x0 . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x0) .
Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x0 . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.
| Примеры |