УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Примеры
|
||||
|
||||
Геометрически устойчивость решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию y( x0 ) = y0 , y = φ(x), φ(x0)= y0 , означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие к интегральной кривой y = φ(x) в момент x = x0 , остаются близкими к ней и на всем промежутке [x0, ∞) . На рисунке красным изображено устойчивое решение задачи Коши y' = − y, y(1) = 1. Видно, что все интегральные кривые, близкие к этому решениюв начальный момент x = 1, остаются вблизи него и при x > 1 .
Устойчивость решения можно доказать аналитически. Легко видеть, что общее решение уравнения y' = − y , имеет вид y = Cexp( − x). Решением задачи Коши y' = − y, y(1) = 1 является функция φ(x) = exp(1 − x), а решение задачи Коши y' = − y, y(1) = y0 — функция y( x) = y0 exp(1 − x). Все эти решения существуют при x ≥ 1. Возьмём произвольное ε > 0 и положим δ = ε. Тогда, если |y(x0) − φ(x0) | = | y0 − 1 | < δ , то при всех x >1 |y(x) − φ(x) | = | y0 exp(1 − x) − exp(1 − x) | = | y0− 1 |· exp(1 − x) < | y0− 1 | < δ = ε , т.е. действительно, как показано на рисунке, решение φ(x) = exp(1 − x) устойчиво по Ляпунову.
|
© МЭИ (ТУ) 2007 |